Oppstartstid: Hva er det? (Ligning og hvordan beregne den)

Felt: Grunnleggende elektrisitet

China

hva er stigningstid

Hva er stigningstid

Stigningstid defineres som tiden det tar for et signal å krysse fra en spesifisert lav verdi til en spesifisert høy verdi. I analog og digital elektronikk er de spesifiserte lavere verdien og de spesifiserte høyere verdien 10% og 90% av den endelige eller stabile verdien. Så stigningstiden er typisk definert som hvor lang tid det tar for et signal å gå fra 10% til 90% av sin endelige verdi.

Stigningstiden er en viktig parameter i analoge og digitale systemer. Den beskriver tiden det tar for utdataen å stige fra ett nivå til et annet i et analogt system, noe som har mange reelle konsekvenser. Stigningstiden forteller oss hvor lenge et signal bruker i mellomtilstanden mellom to gyldige logiske nivåer i et digitalt system.

I kontrollteori defineres stigningstiden som tiden det tar for responsen å stige fra X% til Y% av sin endelige verdi. Verdien av X og Y varierer avhengig av systemtype.

Stigningstiden for underdempede andreordenssystemer er 0% til 100%, for kritisk dempete systemer er det 5% til 95%, og for overdempede systemer er det 10% til 90%.

Ligning for stigningstid

For beregning i tidsdomenanalyse betrakter vi førstestordensystemet og andreordensystemet.

Så for å beregne formelen for stigningstid, betrakter vi førstestordensystemer og andreordensystemer.

Stigningstid for et førstestordensystem

Førstestordensystemet betraktes ved følgende lukket sløyfe overføringsfunksjon.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

I overføringsfunksjonen er T definert som en tidskonstant. Tidsdomeneegenskapene til førsteordensystemet beregnes ut fra tidskonstanten T.

Nå, anta at referanseinnputtet til det lukkede systemet er en enhetsstegfunksjon. Og den er definert i Laplace-transformasjonen som;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Så, utdata-signalet vil være definert som;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Løs denne ligningen ved hjelp av partiel brøkoppspalting;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nå, finn verdiene av A1 og A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

For s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

For s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Derfor,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Tar invers Laplace-transformasjonen;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Nå beregner vi stigningstiden mellom 10% og 90% av sluttverdien.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

På samme måte;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Nå, for stigningstid tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Stigningstid for et andreakt system

I et andreakt system regnes stigningstiden fra 0% til 100% for underdempet system, 10% til 90% for overdempet system, og 5% til 95% for kritisk dempet system.

Her vil vi diskutere beregningen av stigningstid for et andreakt system. Og ligningen for et andreakt system er;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Stigningstiden betegnes med tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Hvor,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Derfor er den endelige formelen for stigetid:

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Hvordan beregne stigetid?

Førsteordens system

For eksempel, finn stigetiden til et førsteordens system. Overføringsfunksjonen til et førsteordens system vises i ligningen nedenfor.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Sammenlign overføringsfunksjonen med standardformen for overføringsfunksjon.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Så; a=2 og b=5;

Rise-tid ligningen for et førstegrads system er;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Andreordens system

Finn stigningstiden for et andreordens system med en naturlig frekvens på 5 rad/sec og en dempingseffektivitet på 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Ligningen for stigningstid i et system av andre orden er

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Nå må vi finne verdien av ф og ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Nå, for ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Sett disse verdiene inn i ligningen for stigningstid;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Hvorfor er stigningstid 10% til 90%?

For å beregne stigningstiden, er det ikke nødvendig å måle tiden mellom 10% og 90%.

Men i de fleste tilfeller beregnes stigningstiden mellom disse verdiene.

Vi bruker disse verdiene fordi signalene kan ha veldig forskjellige bølgeformer i den første og siste delen av deres sluttnivåer.

For eksempel, se skiftmønsteret nedenfor:

Dette var på en verdi nær null i en periode før den økte og nådde sitt endelige verdi.

Det ville ikke være riktig å beregne «stigningstiden» fra det punktet da verdien var null, for dette ville ikke representere tiden det tok for signalet å stige under denne mellomstadiet (det er tydelig at det skjedde en utløser ved starten av Tr).

På slutten bruker vi 90% i stedet for 100% fordi ofte vil signaler aldri nå sin endelige verdi.

Lignende hvordan et logaritmisk diagram ser ut, vil det aldri helt nå 100%, med at gradienten i diagrammet minker over tid.

Så for å oppsummere: skruvede enheter har ulike skruvemønstre i begynnelses- og sluttfasen.

Men under overgangen mellom disse fasene, har alle enheter et liknende stigmønster. Og måling av 10% til 90% av denne overgangen gir vanligvis en rimelig representasjon av stigningstiden over en bred rekke med enheter.

Derfor beregner vi i de fleste tilfeller stigningstiden mellom 10% og 90%.

Stigningstid vs Faltid

Faltid defineres som tiden det tar for et signal å falle (synke) fra en spesifisert verdi (X) til en annen spesifisert verdi (Y).

I de fleste tilfeller er den øvre spesifiserte verdien (X) 90% av toppverdien, og den nedre spesifiserte verdien 10% av toppverdien. Et diagram som viser faltid, er vist nedenfor.

rise time vs fall time — Stigningstid vs Faltid

Så på en måte kan faltiden betraktes som motsatt av stigningstiden, i forhold til hvordan den beregnes.

Men det er viktig å understreke at falltiden ikke nødvendigvis er lik stigningstiden.

Unntatt du har en symmetrisk bølge (som en sinusbølge), er stigningstiden og falltiden uavhengige.

Og det finnes ingen generell relasjon mellom stigningstid og falltid. Begge størrelsene spiller en viktig rolle for signalanalyse i styresystemer og digitale elektronikk.

Stigningstid og Båndbredde

For å måle signalet praktisk, bruker vi et oscilloskop. Hvis vi kjenner signalets stigningstid, kan vi finne signalets båndbredde for testing.

Dette vil hjelpe til å velge et oscilloskop med større eller lik båndbredde. Og det vil gi nøyaktige visningsresultater i oscilloskopet.

Hvis vi kjenner signalets stigningstid, kan vi finne ut hvor mye oscilloskopet vil forbryte signalet og legge til dets stigningstid.

Relasjonen mellom båndbredde (BW) og stigningstid (tr) uttrykkes som formelen nedenfor.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Den ovennevnte formelen antar at stigningstiden er målt i området 10% til 90% av sluttverdien.

De praktiske enhetene for båndbredde er MHz eller GHz, og for stigningstid μs eller ns.

Hvis oscilloskopets inngangsforsyninger har en enkel frekvensrespons, gir nevneren 0.35 et nøyaktig resultat.

Men mange oscilloskoper har raskere avfall for å gi en flatter frekvensrespons i passbandet. I dette tilfellet økes nevneren til 0.45 eller mer.

For eksempel, når en firkantbølge vises på et oscilloskop, har den en stigningstid på 10-90% på 1ns. Hva vil det omtrentlige båndbredden til oscilloskopet være?

Ved å sette disse tallene inn i formelen over,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$