Tempo di salita: Cos'è? (Equazione e come calcolarlo)

Campo: Elettricità di base

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cosa è il tempo di salita

Cosa è il tempo di salita

Il tempo di salita è definito come il tempo impiegato da un segnale per passare da un valore basso specificato a un valore alto specificato. Nell'elettronica analogica e digitale, i valori specifici inferiore e superiore sono rispettivamente il 10% e il 90% del valore finale o dello stato stazionario. Pertanto, il tempo di salita è tipicamente definito come il tempo che impiega un segnale per andare dal 10% al 90% del suo valore finale.

Il tempo di salita è un parametro essenziale nei sistemi analogici e digitali. Descrive il tempo impiegato dall'uscita per salire da un livello all'altro in un sistema analogico, il che ha molte implicazioni nel mondo reale. Il tempo di salita ci dice quanto tempo un segnale trascorre nello stato intermedio tra due livelli logici validi in un sistema digitale.

Nella teoria del controllo, il tempo di salita è definito come il tempo impiegato dalla risposta per salire dall'X% al Y% del suo valore finale. I valori di X e Y variano a seconda del tipo di sistema.

Il tempo di salita per i sistemi del secondo ordine sottosmorzati è dal 0% al 100%, per i sistemi criticamente smorzati è dal 5% al 95%, e per i sistemi sovrasmorzati è dal 10% al 90%.

Equazione del tempo di salita

Per il calcolo nell'analisi del dominio del tempo, consideriamo i sistemi del primo ordine e del secondo ordine.

Quindi, per calcolare la formula del tempo di salita, consideriamo i sistemi del primo ordine e del secondo ordine.

Tempo di salita di un sistema del primo ordine

Il sistema del primo ordine è considerato attraverso la seguente funzione di trasferimento a ciclo chiuso.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Nella funzione di trasferimento, T è definito come costante di tempo. Le caratteristiche nel dominio del tempo del sistema del primo ordine sono calcolate in termini di costante di tempo T.

Ora, si supponga che l'ingresso di riferimento del sistema a retroazione chiusa sia una funzione gradino unitario. E viene definita in termini di trasformata di Laplace come segue;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Quindi, il segnale di uscita sarà definito come segue;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Risolvere questa equazione utilizzando la frazione parziale;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Ora, trova i valori di A1 e A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Per s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Per s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Pertanto,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Calcolando la trasformata inversa di Laplace;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Ora, calcoliamo il tempo di salita tra il 10% e il 90% del valore finale.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Analogamente;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Ora, per il tempo di salita tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Tempo di salita di un sistema del secondo ordine

In un sistema del secondo ordine, il tempo di salita viene calcolato dal 0% al 100% per il sistema sottosmorzato, dal 10% al 90% per il sistema sovrasmorzato e dal 5% al 95% per il sistema criticamente smorzato.

Qui discuteremo il calcolo del tempo di salita per un sistema del secondo ordine. E l'equazione per un sistema del secondo ordine è;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Il tempo di salita è denotato da tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Dove,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Pertanto, la formula finale del tempo di salita è;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Come Calcolare il Tempo di Salita?

Sistema del Primo Ordine

Ad esempio, trova il tempo di salita di un sistema del primo ordine. La funzione di trasferimento di un sistema del primo ordine è mostrata nell'equazione sottostante.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Confrontare la funzione di trasferimento con la forma standard della funzione di trasferimento.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Quindi; a=2 e b=5;

L'equazione del tempo di salita per un sistema del primo ordine è;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Sistema del Secondo Ordine

Trova il tempo di salita di un sistema del secondo ordine con una frequenza naturale di 5 rad/sec e un rapporto di smorzamento di 0,6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

L'equazione del tempo di salita per un sistema del secondo ordine è:

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Ora, dobbiamo trovare il valore di ф e ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Ora, per ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Inserisci questi valori nell'equazione del tempo di salita;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Perché il tempo di salita è dal 10% al 90%?

Per calcolare il tempo di salita, non è obbligatorio misurare il tempo tra il 10% e il 90%.

Tuttavia, in molti casi, il tempo di salita viene calcolato tra questi valori.

Utilizziamo questi valori perché i segnali possono avere forme d'onda molto diverse nelle prime e ultime porzioni dei loro valori finali.

Ad esempio, considera il seguente schema di commutazione:

switching pattern — Schema di commutazione

Questo valore è rimasto approssimativamente zero per un certo periodo prima di aumentare e raggiungere il suo valore finale.

Non sarebbe appropriato calcolare il "tempo di salita" a partire dal momento in cui il valore era zero, poiché ciò non rappresenterebbe il tempo impiegato dal segnale per salire durante questo stato intermedio (chiaramente c'è stato qualche trigger all'inizio di Tr).

Alla fine, utilizziamo il 90% invece del 100% perché spesso i segnali non raggiungono mai il loro valore finale.

Simile a come appare un grafico logaritmico, non raggiungerà mai il 100%, con la pendenza del grafico che diminuisce nel tempo.

Quindi, per riassumere: i dispositivi di commutazione hanno schemi di commutazione diversi nelle fasi iniziali e finali.

Tuttavia, durante la transizione tra queste fasi, tutti i dispositivi hanno uno schema di salita simile. E misurando il 10% al 90% di questa transizione, si ottiene generalmente una rappresentazione equa del tempo di salita su un ampio range di dispositivi.

Pertanto, in gran parte delle condizioni, calcoliamo il tempo di salita tra il 10% e il 90%.

Tempo di salita vs Tempo di discesa

Il tempo di discesa è definito come il tempo impiegato da un segnale per scendere (diminuire) da un valore specifico (X) a un altro valore specifico (Y).

In gran parte dei casi, il valore superiore specificato (X) è il 90% del valore di picco e il valore inferiore specificato è il 10% del valore di picco. Un diagramma che illustra il tempo di discesa è mostrato di seguito.

rise time vs fall time — Tempo di salita vs Tempo di discesa

Quindi, in un certo senso, il tempo di discesa può essere considerato l'inverso del tempo di salita, in termini di come viene calcolato.

È importante sottolineare che il tempo di discesa non è necessariamente uguale al tempo di salita.

A meno che non si abbia un'onda simmetrica (come un'onda sinusoidale), il tempo di salita e il tempo di discesa sono indipendenti.

Non esiste una relazione generalizzata tra il tempo di salita e il tempo di discesa. Entrambi i valori svolgono un ruolo fondamentale nell'analisi dei segnali nei sistemi di controllo e nell'elettronica digitale.

Tempo di salita e banda passante

Per misurare il segnale in pratica, utilizziamo un oscilloscopio. Se conosciamo il tempo di salita del segnale, possiamo determinare la banda passante per il test.

Questo ci aiuterà a scegliere un oscilloscopio con una banda passante maggiore o uguale. E questo fornirà risultati di visualizzazione accurati nell'oscilloscopio.

Se conosciamo il tempo di salita del segnale, possiamo determinare quanto l'oscilloscopio rallenterà il segnale e aumenterà il suo tempo di salita.

La relazione tra banda passante (BW) e tempo di salita (tr) è espressa dalla formula seguente.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

La formula sopra assume che il tempo di salita sia misurato nell'intervallo dal 10% al 90% del valore finale.

Le unità convenzionali per la banda passante sono MHz o GHz e per il tempo di salita μs o ns.

Se gli amplificatori di ingresso dell'oscilloscopio hanno una risposta in frequenza semplice, il numeratore 0.35 fornisce un risultato accurato.

Tuttavia, molti oscilloscopi hanno una roll-off più rapida per fornire una risposta in frequenza più piatta nella banda passante. In queste condizioni, il numeratore aumenta a 0.45 o più.

Ad esempio, quando un'onda quadra viene visualizzata su un oscilloscopio, ha un tempo di salita del 10-90% di 1ns. Qual sarà la banda approssimativa dell'oscilloscopio?

Sostituendo questi numeri nella formula sopra,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$

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