上昇時間：それは何ですか？（式と計算方法）

フィールド: 基本電気

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上昇時間とは

上昇時間は、信号が指定された低値から高値まで到達するまでの時間を指します。アナログ電子回路とデジタル電子回路では、指定された低値と高値は最終または定常状態の値の10%と90%です。したがって、上昇時間は通常、信号が最終値の10%から90%に達するまでの時間を指します。

上昇時間は、アナログシステムとデジタルシステムで重要なパラメータです。これは、出力が一つのレベルから別のレベルへ上昇するまでの時間を示し、多くの実世界の影響があります。デジタルシステムでは、上昇時間は信号が二つの有効な論理レベルの間の中間状態にどれだけ滞在するかを示します。

制御理論では、上昇時間は応答が最終値のX%からY%まで上昇するまでの時間を指します。XとYの値はシステムの種類によって異なります。

過減衰二次系の上昇時間は0%から100%、臨界減衰系では5%から95%、過減衰系では10%から90%です。

上昇時間の式

時間領域解析での計算では、一次系と二次系を考えます。

したがって、上昇時間の公式を計算するためには、一次系と二次系を考えます。

一次系の上昇時間

一次系は以下の閉ループ伝達関数で考えられます。

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

伝達関数において、Tは時間定数として定義されます。一次系の時間領域特性は時間定数Tで計算されます。

次に、閉ループシステムの基準入力が単位ステップ関数であると仮定します。これはラプラス変換を用いて以下のように定義されます。

$R(s) = \frac{1}{s}$

したがって、出力信号は以下のようになります。

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

この方程式を部分分数を使って解きます。

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

次に、A1とA2の値を求めます。

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

s=0の場合；

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s=-1/Tの場合

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

したがって、

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

ラプラス逆変換を取ると

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

次に、最終値の10%から90%までの上昇時間を計算します。

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

同様に；

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

ここで、立ち上がり時間 tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

2次のシステムの上昇時間

2次のシステムでは、過減衰系では0%から100%まで、過減衰系では10%から90%まで、臨界減衰系では5%から95%までの上昇時間を計算します。

ここでは、2次のシステムの上昇時間の計算について説明します。2次のシステムの方程式は以下の通りです。

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

上昇時間はt_rで表されます。

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

ここで

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

したがって、上昇時間の最終的な式は以下の通りです。

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

上昇時間をどのように計算するか

一次システム

例えば、一次システムの上昇時間を求めます。一次システムの伝達関数は以下の式で示されます。

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

伝達関数を伝達関数の標準形式と比較します。

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

したがって；a=2 および b=5

1次システムの上昇時間の式は以下の通りです。

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

二次システム

減衰比が0.6で自然振動数が5 rad/secの二次システムの立ち上がり時間を求めます。

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

2次系システムの上昇時間の式は以下の通りです。

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

次に、фとωdの値を見つける必要があります。

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

次に、ωdについて、

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

これらの値を立ち上がり時間の式に代入します。

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

なぜ上昇時間は10%から90%までなのか？

上昇時間を計算する際、必ずしも10%から90%までの時間を測定する必要はありません。

しかし、多くの場合、上昇時間はこれらの値の間で計算されます。

これらの値を使用するのは、信号が最終値の最初と最後の部分で非常に異なる波形を持つ可能性があるためです。

例えば、以下のスイッチングパターンを見てみましょう：

これは、しばらくほぼゼロの値を維持した後、上昇して最終値に達しました。

この中間状態での信号の上昇時間を正確に表すために、値がゼロだったときから「上昇時間」を計算することは適切ではありません（明らかにTrの開始時に何らかのトリガーがあった）。

終端では、多くの場合信号は最終値に到達しないため、100%ではなく90%を使用します。

対数グラフのように、グラフの傾きは時間とともに減少し、100%には決して達しません。

要するに：スイッチングデバイスは、開始と終了の段階で異なるスイッチングパターンを持っています。

しかし、これらの段階の間の遷移では、すべてのデバイスは類似の上昇パターンを持っています。そして、この遷移の10%から90%を測定することで、幅広いデバイスにおいて上昇時間を公正に表現することができます。

したがって、ほとんどの条件下で、私たちは10%から90%の間で上昇時間を計算します。

上昇時間と下降時間

下降時間とは、信号が指定された値（X）から別の指定された値（Y）まで下がる（減少する）のにかかる時間です。

ほとんどの場合、上位の指定値（X）はピーク値の90%、下位の指定値はピーク値の10%です。下降時間を示す図は以下の通りです。

したがって、計算方法において下降時間は上昇時間の逆と考えることができます。

しかし、下降時間は必ずしも上昇時間と等しくないことを強調する必要があります。

対称的な波（正弦波など）でない限り、上昇時間と下降時間は独立しています。

上昇時間と下降時間の間に一般的な関係はありません。これらの量は、制御システムやデジタル電子工学における信号解析において重要な役割を果たします。

上昇時間と帯域幅

実際の信号測定にはオシロスコープを使用します。信号の上昇時間がわかれば、テスト用に信号の帯域幅を見つけることができます。

これにより、より大きなまたは等しい帯域幅を持つオシロスコープを選択することができます。そして、オシロスコープで正確な表示結果を得ることができます。

信号の上昇時間がわかれば、オシロスコープが信号をどの程度遅らせ、その上昇時間をどれだけ増加させるかを見つけることができます。

帯域幅（BW）と上昇時間（tr）の間の関係は以下の式で表されます。

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

上記の式は、上昇時間が最終値の10%から90%の範囲で測定されていることを前提としています。

帯域幅の便利な単位はMHzまたはGHzであり、上昇時間の単位はμsまたはnsです。

オシロスコープの入力アンプが単純な周波数応答を持っている場合、分子の0.35は正確な結果を与えます。

しかし、多くのオシロスコープは通過帯域でフラットな周波数応答を得るために高速なロールオフを持っています。この条件では、分子が0.45以上に増加します。

例えば、オシロスコープに表示される方形波の10-90%上昇時間が1nsの場合、オシロスコープの帯域幅はおおよそどの程度になりますか。

これらの数値を上記の公式に代入すると

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$

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