Opstygtyd: Wat is dit? (Vergelyking en Hoe om Dit te Bereken)

Veld: Basiese Elektriese

China

wat is oploptyd

Wat is Oploptyd?

Oploptyd word gedefinieer as die tyd wat geneem word vir 'n sein om van 'n gespesifiseerde lae waarde na 'n gespesifiseerde hoë waarde oor te gaan. In analoog en digitale elektronika is die gespesifiseerde lae waarde en gespesifiseerde hoë waarde 10% en 90% van die finale of stabiele waarde. Dus word oploptyd tipies gedefinieer as hoe lank dit neem vir 'n sein om van 10% tot 90% van sy finale waarde te gaan.

Oploptyd is 'n essensiële parameter in analoog en digitale stelsels. Dit beskryf die tyd wat geneem word vir die uitset om van een vlak na 'n ander in 'n analoog stelsel te styg, wat baie werklike implikasies het. Oploptyd vertel ons hoe lank 'n sein in die tussenstaat tussen twee geldige logiese vlakke in 'n digitale stelsel bly.

In beheerteorie word oploptyd gedefinieer as die tyd wat geneem word vir die reaksie om van X% tot Y% van sy finale waarde te styg. Die waardes van X en Y varieer afhangende van die tipe stelsel.

Die oploptyd vir ondergedempde tweede-orde stelsels is 0% tot 100%, vir krities gedempde stelsels is dit 5% tot 95%, en vir oorgedempde stelsels is dit 10% tot 90%.

Oploptydvergelyking

Vir berekenings in tydgebiedanalise, oorweeg ons eerste-orde stelsels en tweede-orde stelsels.

So, om die formule vir oploptyd te bereken, oorweeg ons eerste-orde en tweede-orde stelsels.

Oploptyd van 'n Eerste-Orde Stelsel

Die eerste-orde stelsel word oorweeg deur die volgende geslote-lus oordrafunksie.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

In die oorgangsfunksie word T gedefinieer as 'n tydkonstante. Die tydgebiedkenmerke van die eerste-orde stelsel word in terme van die tydkonstante T bereken.

Veronderstel nou dat die verwysingsingang van die geslote-lusstelsel 'n eenheidstrapfunksie is. Dit word in terme van Laplace-transformasie gedefinieer as:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Dus, die uitsetsignaal sal gedefinieer word as:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Los hierdie vergelyking deur middel van gedeeltelike breuke op te los;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Vind nou die waardes van A1 en A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Vir s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Voor s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Dus

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

De Laplace-omkeer neme;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Ons bereken nou die opstygtyd tussen 10% en 90% van die finale waarde.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad en \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Op dieselfde wyse;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Nou, vir die stygtyd tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Opstygtyd van 'n Tweede-orde Sisteem

In 'n tweede-orde sisteem word die opstygtyd bereken van 0% tot 100% vir die ondergedempde sisteem, 10% tot 90% vir die oorgedempde sisteem, en 5% tot 95% vir die krities gedempde sisteem.

Hier sal ons die berekening van die opstygtyd vir 'n tweede-orde sisteem bespreek. En die vergelyking vir 'n tweede-orde sisteem is;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Die opstygtyd word aangedui deur tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Waar,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Daarom is die finale formule vir opstygtyd;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Hoe bereken jy opstygtyd?

Eerste-orde stelsel

As voorbeeld, vind die opstygtyd van 'n eerste-orde stelsel. Die oordrafunksie van 'n eerste-orde stelsel word in die vergelyking hieronder gewys.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Vergelyk die oordrafunksie met die standaardvorm van 'n oordrafunksie.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Dus; a=2 en b=5;

Die vergelyking vir die stygingstyd van 'n eerste orde stelsel is;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Tweede-orde stelsel

Vind die stygingstyd van 'n tweede-orde stelsel met 'n natuurlike frekwensie van 5 rad/sec en 'n dempingverhouding van 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Die vergelyking vir die stygingstyd van 'n tweede orde stelsel is;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Ons moet nou die waardes van ф en ωd vind.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Nou, vir ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Stel hierdie waardes in die vergelyking van die stygingstyd in;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Waarom is Stygtyd 10% tot 90%?

Om die stygtyd te bereken, is dit nie verpligtend dat ons die tyd tussen 10% en 90% moet meet nie.

Maar in die meeste gevalle word die stygtyd tussen hierdie waardes bereken.

Ons gebruik hierdie waardes omdat seine baie verskillende golfvorme kan hê in die heel eerste en laaste dele van hul finale waardes.

Byvoorbeeld, neem die skakelpatroon hieronder:

Hierdie was by 'n waarde van ongeveer nul vir 'n tyd voordat dit styg en sy finale waarde bereik het.

Dit sou nie geskik wees om die “opstygtyd” te bereken vanaf wanneer die waarde by nul was, as dit nie verteenwoordigend sou wees van die tyd wat geneem is vir die sein om te styg tydens hierdie tussentydse toestand (duidelik was daar 'n trigger wat plaasgevind het aan die begin van Tr).

Aan die agterkant gebruik ons 90% in plaas van 100% omdat seinne dikwels nooit hul finale waarde bereik nie.

Soos 'n logaritmiese grafiek lyk, sal dit nooit regtig 100% bereik, met die gradiënt van die grafiek wat oor tyd verminder.

Om te sommeer: skakeltoestelle het verskillende skakelpatrone by die begin- en eindetappe.

Maar tydens die oorgang tussen hierdie etappe, het alle toestelle 'n soortgelyke stypatroon. En die meting van 10% tot 90% van hierdie oorgang gee gewoonlik 'n billike voorstelling van die opstygtyd oor 'n wyd spektrum van toestelle.

Daarom bereken ons in die meeste omstandighede die opstygtyd tussen 10% en 90%.

Opstygtyd vs Valtyd

Valtyd word gedefinieer as die tyd wat 'n sein neem om te val (verminder) van 'n gespesifiseerde waarde (X) na 'n ander gespesifiseerde waarde (Y).

In die meeste gevalle is die boere gespesifiseerde waarde (X) 90% van die piekwaarde en die onderste gespesifiseerde waarde 10% van die piekwaarde. 'n Skets wat valtyd illustreer, word hieronder getoon.

rise time vs fall time — Opstygtyd vs Valtyd

So in 'n sin kan die valtyd beskou word as die omgekeerde van die opstygtyd, in terme van hoe dit bereken word.

Maar dit is belangrik om te benadruk dat die valtyd nie noodwendig gelyk hoef te wees aan die stygtyd nie.

Tenzij jy 'n simmetriese golf het (soos 'n sinusgolf), is die stygtyd en valtyd onafhanklik.

En daar is geen veralgemeende verhouding tussen die stygtyd en valtyd nie. Beide groothede speel 'n vitaal rol in seinanalise in beheersisteme en digitale elektronika.

Stygtyd en Bandwydte

Om die sein prakties te meet, gebruik ons 'n oscilloskoop. As ons die sein se stygtyd ken, kan ons die sein se bandwydte vind vir toetsing.

Dit sal help om 'n oscilloskoop met 'n groter of gelyke bandwydte te kies. En dit sal akkurate vertoningsresultate gee op die oscilloskoop.

As ons die sein se stygtyd ken, kan ons bepaal hoeveel die oscilloskoop die sein sal vertraag en bydra tot sy stygtyd.

Die verhouding tussen bandwydte (BW) en stygtyd (tr) word uitgedruk deur die formule hieronder.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Die bogenoemde formule gaan uit van die veronderstelling dat die stygtyd in die reeks van 10% tot 90% van die finale waarde gemeet word.

Die gemaklike eenhede vir bandwydte is MHz of GHz en vir stygtyd μs of ns.

As die invoerversterkers van 'n oscilloskoop 'n eenvoudige frekwensie-respons het, gee die teller 0.35 'n akkurate resultaat.

Maar baie oscilloskope het 'n vinniger afval om 'n vlakker frekwensie-respons in die doorgaande band te gee. In hierdie toestand, word die teller verhoog tot 0.45 of meer.

By wyse van 'n vierkantgolf op 'n ossilloskoop vertoon word, het dit 'n 10-90% stygtyd van 1ns. Wat sal die benaderde bandwydte van die ossilloskoop wees?

Deur hierdie getalle in die formule hierbo te vervang,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$