Opklimtijd: Wat is het? (Vergelijking en hoe het te berekenen)

Veld: Basis Elektrotechniek

China

wat is rise time

Wat is Rise Time?

Risetime wordt gedefinieerd als de tijd die nodig is voor een signaal om van een gespecificeerde lage waarde naar een gespecificeerde hoge waarde over te gaan. In analoge en digitale elektronica zijn de gespecificeerde lagere en hogere waarden 10% en 90% van de eindwaarde of stabiele toestand. Dus de risetime wordt meestal gedefinieerd als de tijd die het kost voor een signaal om van 10% naar 90% van zijn eindwaarde te gaan.

De risetime is een essentiële parameter in analoge en digitale systemen. Het beschrijft de tijd die nodig is voor het uitvoer-signaal om van één niveau naar een ander te stijgen in een analoog systeem, wat veel praktische implicaties heeft. De risetime geeft aan hoe lang een signaal in de tussenliggende staat tussen twee geldige logische niveaus doorbrengt in een digitaal systeem.

In de regeltheorie wordt de risetime gedefinieerd als de tijd die nodig is voor de respons om van X% naar Y% van de eindwaarde te stijgen. De waarden van X en Y variëren afhankelijk van het type systeem.

Voor ondergedempte tweede-orde systemen is de risetime 0% tot 100%, voor kritisch gedempte systemen is het 5% tot 95%, en voor overgedempte systemen is het 10% tot 90%.

Risetime vergelijking

Voor de berekening in de tijdsdomeinanalyse nemen we het eerste-orde systeem en het tweede-orde systeem in overweging.

Dus, om de formule voor de risetime te berekenen, nemen we het eerste-orde en tweede-orde systeem in overweging.

Risetime van een eerste-orde systeem

Het eerste-orde systeem wordt beschouwd met de volgende geslotenlusoverdrachtsfunctie.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

In de overdrachtsfunctie wordt T gedefinieerd als een tijdsconstante. De tijdgebonden kenmerken van het eerste orde systeem worden berekend in termen van de tijdsconstante T.

Stel nu dat de referentie-ingang van het gesloten lus systeem een eenheidstrapfunctie is. En deze wordt gedefinieerd in termen van de Laplace-transformatie als:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Dus, het uitgangssignaal zal gedefinieerd zijn als:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Los deze vergelijking op met behulp van partiële breuksplitsing;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nu, vind de waarden van A1 en A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Voor s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Voor s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Dus,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

De inverse Laplace-transformatie nemen;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Nu berekenen we de opstijgtijd tussen 10% en 90% van de eindwaarde.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad en \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Analoog;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Nu, voor de opgangstijd tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Opstijgtijd van een systeem van de tweede orde

In een systeem van de tweede orde wordt de opstijgtijd berekend van 0% tot 100% voor het ondergedempte systeem, 10% tot 90% voor het overgedempte systeem en 5% tot 95% voor het kritisch gedempte systeem.

Hier bespreken we de berekening van de opstijgtijd voor een systeem van de tweede orde. En de vergelijking voor een systeem van de tweede orde is;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

De opstijgtijd wordt aangeduid met tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Waarbij,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Dus, de eindformule voor de opstijgtijd is;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Hoe bereken je de opstijgtijd?

Eerste-orde systeem

Bijvoorbeeld, vind de opstijgtijd van een eerste-orde systeem. De overdrachtsfunctie van een eerste-orde systeem wordt weergegeven in de onderstaande vergelijking.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Vergelijk de overdrachtsfunctie met de standaardvorm van de overdrachtsfunctie.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Dus; a=2 en b=5;

De vergelijking voor de opstijgtijd van een eerste orde systeem is;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Tweede-orde systeem

Bepaal de opstijgtijd van een tweede-orde systeem met een natuurlijke frequentie van 5 rad/sec en een dempingverhouding van 0,6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

De vergelijking voor de opgangstijd van een systeem van de tweede orde is;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Nu moeten we de waarden van ф en ωd vinden.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Nu, voor ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Plaats deze waarden in de vergelijking voor de stijgtijd;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Waarom is de stijgtijd 10% tot 90%?

Om de stijgtijd te berekenen, is het niet verplicht om de tijd tussen 10% en 90% te meten.

Maar in de meeste gevallen wordt de stijgtijd tussen deze waarden berekend.

We gebruiken deze waarden omdat de signalen in de eerste en laatste delen van hun eindwaarden zeer verschillende golfformen kunnen hebben.

Bijvoorbeeld, neem het schakelpatroon hieronder:

De waarde was een tijd lang ongeveer nul voordat ze omhoog ging en haar eindwaarde bereikte.

Het zou niet juist zijn om de "opstijgtijd" te berekenen vanaf het moment dat de waarde nul was, omdat dit niet representatief zou zijn voor de tijd die nodig is voor het signaal om te stijgen tijdens deze tussenliggende fase (duidelijk was er een trigger die plaatsvond aan het begin van Tr).

Aan het eind gebruiken we 90% in plaats van 100% omdat signalen vaak nooit hun eindwaarde bereiken.

Net zoals bij een logaritmische grafiek, zal deze nooit helemaal 100% bereiken, met de helling van de grafiek die over tijd afneemt.

Samengevat: schakelapparatuur heeft verschillende schakelpatronen in de begin- en eindfasen.

Tijdens de overgang tussen deze fasen hebben alle apparaten echter een vergelijkbaar stijgpatroon. En het meten van 10% tot 90% van deze overgang geeft meestal een redelijke weergave van de opstijgtijd over een breed scala aan apparaten.

Daarom berekenen we in de meeste omstandigheden de opstijgtijd tussen 10% en 90%.

Opstijgtijd vs Dalingstijd

Dalingstijd wordt gedefinieerd als de tijd die een signaal nodig heeft om te dalen (verminderen) van een gespecificeerde waarde (X) naar een andere gespecificeerde waarde (Y).

In de meeste gevallen is de bovenste gespecificeerde waarde (X) 90% van de piekwaarde en de onderste gespecificeerde waarde 10% van de piekwaarde. Een diagram dat de dalingstijd illustreert, is hieronder getoond.

rise time vs fall time — Opstijgtijd vs Dalingstijd

In zekere zin kan de dalingstijd worden beschouwd als het omgekeerde van de opstijgtijd, wat betreft de manier waarop deze wordt berekend.

Het is echter belangrijk om te benadrukken dat de valtijd niet noodzakelijk gelijk is aan de stijgtijd.

Tenzij u een symmetrische golf hebt (zoals een sinusgolf), zijn de stijgtijd en de valtijd onafhankelijk.

Er is geen algemene relatie tussen de stijgtijd en de valtijd. Beide grootheden spelen een cruciale rol bij signaalanalyse in regelsystemen en digitale elektronica.

Stijgtijd en Bandbreedte

Om het signaal praktisch te meten, gebruiken we een oscilloscoop. Als we de stijgtijd van het signaal kennen, kunnen we de bandbreedte van het signaal bepalen voor testdoeleinden.

Dit helpt bij het kiezen van een oscilloscoop met een grotere of gelijke bandbreedte. En het zal nauwkeurige weergave resultaten geven op de oscilloscoop.

Als we de stijgtijd van het signaal kennen, kunnen we bepalen hoeveel de oscilloscoop het signaal zal vertragen en toevoegen aan de stijgtijd.

De relatie tussen bandbreedte (BW) en stijgtijd (tr) wordt uitgedrukt door de volgende formule.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

De bovenstaande formule gaat ervan uit dat de stijgtijd wordt gemeten over het bereik van 10% tot 90% van de eindwaarde.

De handige eenheden voor bandbreedte zijn MHz of GHz en voor stijgtijd μs of ns.

Als de ingangversterkers van een oscilloscoop een eenvoudig frequentierespons hebben, geeft de teller 0.35 een nauwkeurig resultaat.

Maar veel oscilloscopen hebben een snellere afvlakking om een vlakkere frequentierespons in het doorgangsbereik te geven. In deze situatie wordt de teller verhoogd tot 0.45 of meer.

Bijvoorbeeld, wanneer een blokgolf wordt weergegeven op een oscilloscoop, heeft deze een stijgtijd van 10-90% van 1 ns. Wat zal de benaderde bandbreedte van de oscilloscoop zijn?

Door deze getallen in de formule in te vullen,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$

Verklaring: Respecteer het oorspronkelijke, goede artikelen zijn de moede gedeeld te zijn, indien er een inbreuk is gelieve contact op te nemen om te verwijderen.

Geef een fooi en moedig de auteur aan

Onderwerpen:

Energiesystemen

Besturingssystemen

Over experts

Electrical4u

China

Expertisegebied

Basic Electrical

Professioneel artikel

607