Время нарастания: что это? (Уравнение и как его рассчитать)

Поле: Основы электротехники

China

что такое время нарастания

Что такое время нарастания?

Время нарастания определяется как время, необходимое для того, чтобы сигнал пересек заданное низкое значение и достиг заданного высокого значения. В аналоговой и цифровой электронике заданные нижнее и верхнее значения составляют 10% и 90% конечного или установившегося значения. Таким образом, время нарастания обычно определяется как время, за которое сигнал переходит от 10% до 90% своего конечного значения.

Время нарастания является важным параметром в аналоговых и цифровых системах. Оно описывает время, необходимое для того, чтобы выход поднялся с одного уровня на другой в аналоговой системе, что имеет множество практических последствий. Время нарастания показывает, сколько времени сигнал проводит в промежуточном состоянии между двумя допустимыми логическими уровнями в цифровой системе.

В теории управления время нарастания определяется как время, необходимое для того, чтобы реакция поднялась с X% до Y% своего конечного значения. Значения X и Y зависят от типа системы.

Для недостаточно демпфированных систем второго порядка время нарастания составляет 0% до 100%, для критически демпфированных систем — 5% до 95%, а для избыточно демпфированных систем — 10% до 90%.

Уравнение времени нарастания

Для расчета в анализе во временной области мы рассматриваем системы первого и второго порядка.

Таким образом, для вычисления формулы времени нарастания мы рассматриваем системы первого и второго порядка.

Время нарастания системы первого порядка

Система первого порядка рассматривается по следующей передаточной функции замкнутой системы.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

В передаточной функции T определяется как постоянная времени. Временные характеристики системы первого порядка вычисляются в терминах постоянной времени T.

Теперь предположим, что входное воздействие замкнутой системы является единичной ступенчатой функцией. И оно определяется с помощью преобразования Лапласа следующим образом:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Следовательно, выходной сигнал будет определен как:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Решите это уравнение с помощью разложения на простые дроби;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Теперь найдите значения A1 и A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Для s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Для s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Следовательно,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Применяя обратное преобразование Лапласа;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Теперь мы вычисляем время нарастания между 10% и 90% конечного значения.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad и \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Аналогично;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Теперь, для времени нарастания tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Время нарастания второго порядка системы

Для системы второго порядка время нарастания рассчитывается от 0% до 100% для недостаточно затухающей системы, от 10% до 90% для переустановленной системы и от 5% до 95% для критически затухающей системы.

Здесь мы обсудим расчет времени нарастания для системы второго порядка. Уравнение для системы второго порядка имеет вид;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Время нарастания обозначается как tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Где,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Следовательно, окончательная формула времени нарастания следующая;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Как рассчитать время нарастания?

Первый порядок системы

Например, найдите время нарастания для системы первого порядка. Передаточная функция системы первого порядка показана в уравнении ниже.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Сравните передаточную функцию со стандартной формой передаточной функции.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Таким образом; a=2 и b=5;

Уравнение времени нарастания для системы первого порядка следующее;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Система второго порядка

Найдите время нарастания системы второго порядка с собственной частотой 5 рад/сек и коэффициентом демпфирования 0,6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Уравнение времени нарастания для системы второго порядка имеет вид;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Теперь нам нужно найти значения ф и ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Теперь, для ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 рад/сек$

Подставьте эти значения в уравнение времени нарастания;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Почему время нарастания измеряется от 10% до 90%?

Для расчета времени нарастания не обязательно измерять время между 10% и 90%.

Однако в большинстве случаев время нарастания рассчитывается между этими значениями.

Мы используем эти значения, потому что сигналы могут иметь очень разные формы волн в самых первых и последних частях своих конечных значений.

Например, рассмотрим следующий переключательный паттерн:

switching pattern — Переключательный паттерн

Некоторое время это значение было приблизительно равно нулю, прежде чем начало расти и достигло своего конечного значения.

Было бы некорректно рассчитывать «время нарастания» с момента, когда значение было равно нулю, поскольку это не отражало бы реальное время, за которое сигнал возрастает в этом промежуточном состоянии (очевидно, что в начале Tr произошёл какой-то триггер).

На хвостовой части мы используем 90% вместо 100%, потому что сигналы зачастую никогда не достигают своего конечного значения.

Подобно тому, как выглядит логарифмический график, он никогда полностью не достигнет 100%, при этом градиент графика со временем уменьшается.

Таким образом, подводя итог: коммутирующие устройства имеют различные режимы переключения на начальном и конечном этапах.

Однако во время перехода между этими этапами все устройства демонстрируют схожий характер нарастания сигнала. Измерение интервала от 10% до 90% этого перехода обычно даёт объективное представление о времени нарастания для широкого диапазона устройств.

Следовательно, в большинстве случаев мы рассчитываем время нарастания между уровнями 10% и 90%.

Время нарастания против времени спада

Время спада определяется как время, необходимое сигналу для снижения (убывания) с заданного значения (X) до другого заданного значения (Y).

В большинстве случаев верхнее заданное значение (X) составляет 90% от пикового значения, а нижнее заданное значение — 10% от пикового значения. Ниже приведена диаграмма, иллюстрирующая время спада.

rise time vs fall time — Время нарастания против времени спада

Таким образом, по сути, время спада можно рассматривать как обратную величину времени нарастания с точки зрения способа его расчёта.

Однако важно подчеркнуть, что время спада не обязательно равно времени нарастания.

Если у вас есть симметричный сигнал (например, синусоидальный), то время нарастания и время спада являются независимыми.

И нет обобщенной зависимости между временем нарастания и временем спада. Обе величины играют важную роль в анализе сигналов в системах управления и цифровой электронике.

Время нарастания и полоса пропускания

Для практического измерения сигнала мы используем осциллограф. Если нам известно время нарастания сигнала, мы можем определить его полосу пропускания для тестирования.

Это поможет выбрать осциллограф с большей или равной полосой пропускания. И это обеспечит точные результаты отображения на осциллографе.

Зная время нарастания сигнала, мы можем определить, насколько осциллограф замедлит сигнал и увеличит его время нарастания.

Связь между полосой пропускания (BW) и временем нарастания (tr) выражается следующей формулой.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Приведенная выше формула предполагает, что время нарастания измеряется в диапазоне от 10% до 90% конечного значения.

Удобные единицы измерения полосы пропускания — МГц или ГГц, а для времени нарастания — мкс или нс.

Если входные усилители осциллографа имеют простую частотную характеристику, числитель 0.35 дает точный результат.

Однако многие осциллографы имеют более быстрый спад, чтобы обеспечить более плоскую частотную характеристику в полосе пропускания. В этом случае числитель увеличивается до 0.45 или более.

Например, когда на осциллографе отображается прямоугольный сигнал, его время нарастания от 10% до 90% составляет 1 нс. Какова будет приблизительная полоса пропускания осциллографа?

Подставив эти числа в формулу выше,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$