ამოცანის დრო: რა არის? (განტოლება და როგორ გამოვთვალოთ)

ველი: ბაზიური ელექტროტექნიკა

China

რის არის აღმოცენილი დრო

აღმოცენილი დრო განიხილება როგორც დრო, რომელიც სიგნალს სჭირდება გადასვლაზე შესაბამისი დაბალი დონიდან შესაბამის მაღალ დონეზე. ანალოგურ და ციფრულ ელექტრონიკაში შესაბამისი დაბალი და მაღალი დონეები წარმოადგენენ ბოლო ან სტაციონარული მნიშვნელობის 10%-ს და 90%-ს. ასე რომ, აღმოცენილი დრო ჩვეულებრივ განისაზღვრება როგორც დრო, რომელიც სიგნალს სჭირდება გადასვლაზე თავდაპირველი მნიშვნელობის 10%-დან 90%-მდე.

აღმოცენილი დრო არის ესენციალური პარამეტრი ანალოგურ და ციფრულ სისტემებში. ის აღწერს დროს, რომელიც საჭიროა გამოყენებისთვის გადასვლაზე ერთი დონიდან მეორე დონეზე ანალოგურ სისტემაში, რაც აქვს რეალური მსოფლიოში მრავალი შედეგი. ციფრულ სისტემაში აღმოცენილი დრო გვიჩვენებს, რამდენი დრო სიგნალს სჭირდება შუა დონეში დარჩენისთვის შესაბამისი ლოგიკური დონეების შორის.

კონტროლის თეორიაში აღმოცენილი დრო განისაზღვრება როგორც დრო, რომელიც სჭირდება პასუხის გადასვლაზე X%-დან Y%-მდე ბოლო მნიშვნელობაზე. X და Y მნიშვნელობები იცვლება სისტემის ტიპის მიხედვით.

აღმოცენილი დრო ქვედარსებული მეორე რიგის სისტემებისთვის არის 0%-დან 100%-მდე, კრიტიკულად დარსებული სისტემებისთვის 5%-დან 95%-მდე, ხოლო დარსებული სისტემებისთვის 10%-დან 90%-მდე.

აღმოცენილი დროს განტოლება

დროს დომენის ანალიზისთვის გამოთვლისთვის ჩვენ განვიხილავთ პირველი რიგის სისტემას და მეორე რიგის სისტემას.

ასე რომ, აღმოცენილი დროს ფორმულის გამოთვლისთვის ჩვენ განვიხილავთ პირველი რიგის და მეორე რიგის სისტემებს.

პირველი რიგის სისტემის აღმოცენილი დრო

პირველი რიგის სისტემა განიხილება შემდეგი დახურული წრედის გადაცემით.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

ტრანსფერის ფუნქციაში T განიხილება როგორც დროის მუდმივა. პირველი რიგის სისტემის დროის დომენის ხარისხი თავსებადად გამოითვლება დროის მუდმივით T.

ახლა დავუშვათ, რომ დახურული წრედის რეფერენციული შეყვანა არის ერთეულის კბილის ფუნქცია. და ის განისაზღვრება ლაპლასის ტრანსფორმაციით შემდეგნაირად:

$R(s) = \frac{1}{s}$

ასე რომ, გამოსახულების სიგნალი განისაზღვრება შემდეგნაირად:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

ამ განტოლების გადაწყვეტა ნაწილობრივი ფრაქციების გამოყენებით:

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

ახლა, ვიპოვეთ A1 და A2 მნიშვნელობები;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

როცა s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s=-1/T შემთხვევაში

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

ამიტომ,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

ლაპლასის შებრუნება;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

ახლა გამოვთვალოთ ზრდის დრო ფინალური მნიშვნელობის 10% და 90% შორის.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

ანალოგიურად;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

ახლა, ზრდის დრო tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

მეორე რიგის სისტემის აღმოსვლის დრო

მეორე რიგის სისტემაში, აღმოსვლის დრო გამოითვლება 0% დან 100%-მდე ქვედახარისხული სისტემისთვის, 10% დან 90%-მდე ზედახარისხული სისტემისთვის და 5% დან 95%-მდე კრიტიკულად ხარისხული სისტემისთვის.

აქ, ჩვენ განვიხილავთ მეორე რიგის სისტემის აღმოსვლის დროის გამოთვლას. და მეორე რიგის სისტემის განტოლება არის:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

აღმოსვლის დრო აღინიშნება როგორც tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

სადაც,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

ამიტომ, ბოლო ფორმულა აღწერს აღდგომის დროს შემდეგნაირად:

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

როგორ გამოვთვალოთ აღდგომის დრო?

პირველი რიგის სისტემა

მაგალითად, გამოვთვალოთ პირველი რიგის სისტემის აღდგომის დრო. პირველი რიგის სისტემის ტრანსფერირების ფუნქცია ჩანს ქვემოთ მოყვანილ განტოლებაში.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

შეადარეთ ტრანსფერის ფუნქცია ტრანსფერის ფუნქციის სტანდარტული ფორმა.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

ასე რომ; a=2 და b=5;

პირველი რიგის სისტემის წვრთნის დროს განტოლება არის;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

მეორე რიგის სისტემა

ნახეთ მეორე რიგის სისტემის ზრდის დრო, რომლის ბუნებრივი სიკვრის სიხშირე არის 5 რად/წმ და დახრილობის კოეფიციენტი არის 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

მეორე რადიუსის სისტემის აღზრდის დროის განტოლება არის:

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

ახლა ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ფის და ωd მნიშვნელობები.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

ახლა, ωd-თვის,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

ეს მნიშვნელობები ჩაწერეთ ამოცანის დროის გაზრდის განტოლებაში;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

რატომ არის ზრდის დრო 10% დან 90%-მდე?

ზრდის დროის გამოთვლისთვის არ არის საჭირო, რომ დროს შევზღუდოთ 10% დან 90%-მდე.

თუმცა უმეტეს შემთხვევაში ზრდის დრო გამოითვლება ამ მნიშვნელობებს შორის.

ამ მნიშვნელობების გამოყენება ხდება იმიტომ, რომ სიგნალები შეიძლება ჰქონდეს ძალიან განსხვავებული გადახრები თავისი საბოლოო მნიშვნელობების პირველი და ბოლო ნაწილებში.

მაგალითად, განვიხილოთ ქვემოთ მოცემული ჩართვის ფართული:

რამდენიმე დროს მნიშვნელობა თითქმის ნული იყო და შემდეგ ზრდის შემდეგ მიაღწია საბოლოო მნიშვნელობას.

"ზრდის დროს" დასათვლელად ნულიდან დაწყება არ იქნებოდა კარგი, რადგან ეს არ წარმოადგენდა სიგნალის ზრდის დროს შუა მდგომარეობაში (ცხადია, რომ ტრიგერი დაიწყო Tr დროს).

შესაბამისად, ჩვენ ვიყენებთ 90% ნაცვლად 100%-ს, რადგან ხშირად სიგნალები არ მიაღწევენ საბოლოო მნიშვნელობას.

ასევე, როგორც ლოგარითმული გრაფიკის მსგავსად, სიგნალი არასდროს მიაღწევს 100%-ს, რადგან გრაფიკის გრადიენტი დროთა განმავლობაში შემცირდება.

რომ ჯამდარი იყოს: სიცოცხლის მართვის მოწყობილობები არის სხვადასხვა რეჟიმებში დაწყებისა და დასრულების ეტაპებზე.

თუმცა, ეს ეტაპების შორის ტრანზიციისას ყველა მოწყობილობა არის საერთო ზრდის პატრონი. და 10%-დან 90%-მდე ტრანზიციის ზომვა ჩვეულებრივ მოგვცემს საკმარის წარმოდგენას ზრდის დროზე რამდენიმე მოწყობილობისთვის.

ამიტომ, უმეტეს შემთხვევაში, ჩვენ ვთვლით ზრდის დროს 10%-დან 90%-მდე.

ზრდის დრო და დაშვების დრო

დაშვების დრო არის დრო, რომელიც სიგნალს სჭირდება დაშვებისას (შემცირებისას) ერთი მითითებული მნიშვნელობიდან (X) მეორე მითითებულ მნიშვნელობამდე (Y).

უმეტეს შემთხვევაში, ზედა მითითებული მნიშვნელობა (X) არის პიკის 90%, ხოლო ქვედა მითითებული მნიშვნელობა არის პიკის 10%. დაშვების დროს აღწერა ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ დიაგრამაში.

rise time vs fall time — ზრდის დრო და დაშვების დრო

ამით, დაშვების დრო შეიძლება იყოს ზრდის დროს შებრუნებული ვერსია, როგორც მისი დათვლის მიხედვით.

მაგრამ საჭიროა განცხადოთ, რომ ქვედა დრო არ აუცილებლად ტოლი არის ზედა დროს.

თუ არ გაქვთ სიმეტრიული ტალღა (როგორიცაა სინუსოიდა), ზედა დრო და ქვედა დრო დამოუკიდებლად არიან.

და არ არსებობს გენერალიზებული კავშირი ზედა დროსა და ქვედა დროს შორის. ორივე რაოდენობა საკვანძო როლს ითამაშებს სიგნალის ანალიზში კონტროლის სისტემებში და ციფრულ ელექტრონიკაში.

ზედა დრო და პასუხისმგებელობის სირთულე

სიგნალის პრაქტიკულად გაზომვისთვის ვიყენებთ ოსცილოგრაფს. თუ ვიცით სიგნალის ზედა დრო, შეგვიძლია გავიგოთ სიგნალის პასუხისმგებელობის სირთულე ტესტირებისთვის.

ეს დაგვეხმარება არჩევანი გავიგოთ უფრო დიდი ან ტოლი პასუხისმგებელობის სირთულის მქონე ოსცილოგრაფი. და ეს გამოიწვევს საზუსტო შედეგებს ოსცილოგრაფში.

თუ ვიცით სიგნალის ზედა დრო, შეგვიძლია გავიგოთ, რამდენად დაანელებს ოსცილოგრაფი სიგნალს და რამდენად დაამატებს მის ზედა დროს.

პასუხისმგებელობის სირთულე (BW) და ზედა დრო (tr) შორის კავშირი გამოიხატება ქვემოთ მოცემული ფორმულით.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

ზემოთ მოცემული ფორმულა არის ისეთი, რომ ზედა დრო იზომება ბოლო მნიშვნელობის 10%-დან 90%-მდე დიაპაზონში.

პასუხისმგებელობის სირთულის ხელმისაწვდომი ერთეულებია MHz ან GHz და ზედა დროს მიერ μs ან ns.

თუ ოსცილოგრაფის შესაბამისი ამპლიფიკატორები აქვთ მარტივი სიხშირის პასუხი, მრიცხველი 0.35 აძლევს საზუსტო შედეგს.

მაგრამ ბევრი ოსცილოგრაფი აქვთ უფრო სწრაფი დაკლება, რათა მიიღოთ ბრტყელი სიხშირის პასუხი გადატანის საშუალებით. ამ პირობებში, მრიცხველი ზრდის 0.45 ან უფრო მრავალზე.

მაგალითად, როდესაც კვადრატული ტალღა ჩანს ოსცილოგრაფზე, ის აქვს 10-90% ზრდის დრო 1 ნანოსეკუნდში. რა იქნება ოსცილოგრაფის ახლოს ბანდი?

ამ რიცხვების ჩასმით ფორმულაში,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$