وقت الصعود: ما هو؟ (المعادلة وكيفية حسابه)

حقل: الكهرباء الأساسية

China

ما هو زمن الصعود

يُعرّف زمن الصعود بأنه الزمن المستغرق لعبور الإشارة من قيمة منخفضة محددة إلى قيمة عالية محددة. في الإلكترونيات التناظرية والرقمية، تكون القيمة المنخفضة المحددة والقيمة العالية المحددة 10٪ و90٪ من القيمة النهائية أو الثابتة. لذا يُعرف زمن الصعود عادةً بالزمن الذي يستغرقه للإشارة للانتقال من 10٪ إلى 90٪ من قيمتها النهائية.

يعتبر زمن الصعود معلمة أساسية في الأنظمة التناظرية والرقمية. فهو يصف الزمن المستغرق للخروج للصعود من مستوى إلى آخر في النظام التناظري، والذي له العديد من الآثار العملية في العالم الحقيقي. يخبرنا زمن الصعود بمدى الوقت الذي تقضيه الإشارة في الحالة الوسيطة بين مستويين منطقيين صالحين في النظام الرقمي.

في نظرية التحكم، يتم تعريف زمن الصعود بأنه الزمن المستغرق للرد على الارتفاع من X٪ إلى Y٪ من قيمته النهائية. تختلف قيم X و Y حسب نوع النظام.

يكون زمن الصعود لنظام الدرجة الثانية غير المثبط بشكل كافٍ من 0٪ إلى 100٪،而对于提供的内容，我将严格按照要求翻译为阿拉伯语。以下是翻译结果： ```html

ما هو زمن الصعود

يُعرَّف زمن الصعود بأنه الزمن الذي تستغرقه الإشارة للانتقال من قيمة منخفضة محددة إلى قيمة عالية محددة. في الإلكترونيات التناظرية والرقمية، تكون القيم المنخفضة والعالية المحددة هي 10٪ و90٪ من القيمة النهائية أو الثابتة. لذا فإن زمن الصعود يُعرَّف عادةً بأنها الفترة التي تستغرقها الإشارة للانتقال من 10٪ إلى 90٪ من قيمتها النهائية.

يعتبر زمن الصعود معلمة أساسية في الأنظمة التناظرية والرقمية. فهو يصف الزمن الذي تستغرقه الإشارة للانتقال من مستوى إلى آخر في النظام التناظري، وهو له العديد من الآثار العملية في العالم الحقيقي. كما أنه يوضح لنا مدى الوقت الذي تقضيه الإشارة في الحالة المتوسطة بين مستويين منطقيين صالحين في النظام الرقمي.

في نظرية التحكم، يُعرَّف زمن الصعود بأنه الزمن المستغرق للرد على الارتفاع من X٪ إلى Y٪ من قيمته النهائية. تتغير قيم X و Y حسب نوع النظام.

يكون زمن الصعود لنظام الدرجة الثانية غير المثبط بشكل كافٍ من 0٪ إلى 100٪، ولنظام الدرجة الثانية المثبط بشكل كافٍ هو من 5٪ إلى 95٪، ولنظام الدرجة الثانية المثبط بشكل زائد هو من 10٪ إلى 90٪.

معادلة زمن الصعود

لحساب المعادلة في تحليل المجال الزمني، نعتبر النظام من الدرجة الأولى والنظام من الدرجة الثانية.

لذلك، لحساب صيغة زمن الصعود، نعتبر أنظمة الدرجة الأولى والدرجة الثانية.

زمن الصعود لنظام الدرجة الأولى

يتم اعتبار نظام الدرجة الأولى بواسطة الدالة النقلية ذات الحلقة المغلقة التالية.

```

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

في دالة التحويل، يتم تعريف T كثابت زمني. يتم حساب خصائص النظام من الدرجة الأولى في مجال الزمن بدلالة الثابت الزمني T.

الآن، لنفترض أن الإدخال المرجعي للنظام المغلق هو دالة خطوة وحدة. ويتم تعريفها بدلالة تحويل لابلاس كما يلي:

$R(s) = \frac{1}{s}$

وبالتالي، سيتم تعريف إشارة الخرج كما يلي:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

حل هذه المعادلة باستخدام الكسور الجزئية

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

الآن، ابحث عن قيم A1 و A2؛

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

لـ s=0؛

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

بالنسبة لـ s=-1/T؛

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

لذلك،

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

إذا أخذنا تحويل لابلاس العكسي؛

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

الآن، نحسب وقت الصعود بين 10٪ و 90٪ من القيمة النهائية.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

بالمثل؛

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

الآن، بالنسبة لوقت الصعود tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

وقت الصعود لنظام من الدرجة الثانية

في نظام من الدرجة الثانية، يتم حساب وقت الصعود من 0% إلى 100% للنظام المعتدل التخميد، ومن 10% إلى 90% للنظام المفرط التخميد، ومن 5% إلى 95% للنظام المخمد بشكل حرجة.

هنا، سنناقش حساب وقت الصعود لنظام من الدرجة الثانية. والمعادلة لنظام من الدرجة الثانية هي:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

يُرمز لوقت الصعود بالرمز tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

حيث،

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

لذلك، فإن الصيغة النهائية للزمن الصعود هي؛

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

كيفية حساب زمن الصعود؟

النظام من الدرجة الأولى

على سبيل المثال، احسب زمن الصعود لنظام من الدرجة الأولى. يتم عرض دالة التحويل لنظام من الدرجة الأولى في المعادلة أدناه.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

قارن دالة التحويل مع الشكل القياسي لدالة التحويل.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

لذا؛ a=2 و b=5

معادلة زمن الصعود لنظام من الدرجة الأولى هي

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

النظام من الدرجة الثانية

أوجد وقت الصعود لنظام من الدرجة الثانية بتردد طبيعي يبلغ 5 راد/ثانية ومعامل تخميد يبلغ 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

معادلة زمن الصعود لنظام من الدرجة الثانية هي

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

الآن، نحتاج إلى إيجاد قيمة φ و ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

الآن، بالنسبة لـ ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

ضع هذه القيم في معادلة زمن الصعود؛

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

لماذا يكون وقت الصعود من 10٪ إلى 90٪؟

لا يتعين علينا قياس الوقت بين 10٪ و 90٪ لحساب وقت الصعود.

ولكن في معظم الحالات، يتم حساب وقت الصعود بين هذه القيم.

نستخدم هذه القيم لأن الإشارات قد تمتلك موجات مختلفة جداً في الأجزاء الأولى والأخيرة من قيمها النهائية.

على سبيل المثال، اعتبر نمط التحويل أدناه:

كان القيمة حوالي الصفر لفترة من الزمن قبل أن ترتفع وتصل إلى قيمتها النهائية.

لن يكون من المناسب حساب "وقت الصعود" من اللحظة التي كانت فيها القيمة صفرًا، حيث لن يكون هذا ممثلًا للوقت المستغرق للإشارة للصعود خلال هذه الحالة الوسيطة (من الواضح أن هناك بعض الزناد الذي حدث في بداية Tr).

في نهاية الذيل، نستخدم 90٪ بدلاً من 100٪ لأن الإشارات غالبًا ما لا تصل أبدًا إلى قيمتها النهائية.

مما يشبه كيفية ظهور الرسم البياني اللوغاريتمي، فإنه لن يصل أبدًا إلى 100٪، مع انخفاض ميل الرسم البياني مع مرور الوقت.

لذا لتلخيص: للأجهزة التحويلية أنماط تحويل مختلفة في المراحل الابتدائية والنهائية.

لكن خلال الانتقال بين هذه المراحل، فإن جميع الأجهزة لها نمط صعود مشابه. وقياس 10٪ إلى 90٪ من هذا الانتقال عادة ما يعطي تمثيلاً عادلاً لوقت الصعود عبر مجموعة واسعة من الأجهزة.

وبالتالي، في معظم الحالات، نحسب وقت الصعود بين 10٪ و90٪.

وقت الصعود مقابل وقت الهبوط

يُعرَّف وقت الهبوط بأنه الوقت الذي تستغرقه الإشارة للانخفاض (النقصان) من قيمة محددة (X) إلى قيمة أخرى محددة (Y).

في معظم الحالات، تكون القيمة العلوية المحددة (X) 90٪ من القيمة القصوى والقيمة السفلية المحددة 10٪ من القيمة القصوى. ويظهر أدناه رسم توضيحي لوقت الهبوط.

rise time vs fall time — وقت الصعود مقابل وقت الهبوط

وبالتالي يمكن اعتبار وقت الهبوط بمثابة العكس لوقت الصعود، من حيث طريقة حسابه.

لكن من المهم التأكيد على أن وقت الهبوط ليس بالضرورة مساوياً لوقت الصعود.

إلا إذا كان لديك موجة متماثلة (مثل موجة الجيب)، فإن وقت الصعود ووقت الهبوط مستقلان.

ولا توجد علاقة عامة بين وقت الصعود ووقت الهبوط. كلا الكميتين يلعبان دوراً حاسماً في تحليل الإشارات في الأنظمة الضبطية والإلكترونيات الرقمية.

وقت الصعود والعرض الترددي

لقياس الإشارة عملياً، نستخدم متصفح أمواج. إذا كنا نعرف وقت صعود الإشارة، يمكننا العثور على عرض ترددي للإشارة لأغراض الاختبار.

سيساعد ذلك في اختيار متصفح أمواج بعرض ترددي أكبر أو مساوٍ. وسيوفر نتائج عرض دقيقة في متصفح الأمواج.

إذا كنا نعرف وقت صعود الإشارة، يمكننا معرفة مدى إبطاء متصفح الأمواج للإشارة وإضافة إلى وقت صعودها.

العلاقة بين العرض الترددي (BW) ووقت الصعود (tr) يتم التعبير عنها بالصيغة أدناه.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

تحتاج الصيغة أعلاه إلى قياس وقت الصعود في نطاق 10٪ إلى 90٪ من القيمة النهائية.

وحدات العرض الترددي المريحة هي MHz أو GHz ولوقت الصعود μs أو ns.

إذا كانت مكبرات الإدخال لمتصفح الأمواج لها استجابة ترددية بسيطة، فإن البسط 0.35 يعطي نتيجة دقيقة.

لكن العديد من متصفحات الأمواج لديها انخفاض أسرع لإعطاء استجابة ترددية أكثر ثباتاً في النطاق المرور. في هذه الحالة، يزداد البسط إلى 0.45 أو أكثر.

على سبيل المثال، عندما يتم عرض موجة مربعة على جهاز الرسم البياني للموجات، فإن وقت الصعود من 10-90٪ هو 1 نانو ثانية. ما سيكون النطاق الترددي التقريبي لجهاز الرسم البياني للموجات؟

عن طريق التعويض بهذه الأرقام في المعادلة أعلاه،

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$