Leviĝo: Kio ĝi estas? (Ekvacio kaj kiel kalkuli ĝin)

Kampo: Baza Elektrotekniko

China

ki estas montopunkto

Ki estas Montopunkto?

Montopunkto estas difinita kiel la tempo, kiun signalo bezonas por transiri de specifa malalta valoro al specifa alta valoro. En analogaj kaj ciferecaj elektronikoj, la specifaj malaltaj kaj altaj valoroj estas 10% kaj 90% de la fina aŭ stacionara valoro. Tial, la montopunkto estas kutime difinita kiel la tempo, kiun signalo bezonas por iri de 10% al 90% de sia fina valoro.

La montopunkto estas esenca parametro en analogaj kaj ciferecaj sistemoj. Ĝi priskribas la tempon, kiun la eligo bezonas por monti de unu nivelo al alia en analoga sistemo, kio havas multajn praktikajn implicojn. La montopunkto diras al ni, kiom longe signalo restas en la intermedia stato inter du validaj logikaj niveloj en cifereca sistemo.

En regiteorio, la montopunkto estas difinita kiel la tempo, kiun la respondo bezonas por monti de X% al Y% de sia fina valoro. La valoroj de X kaj Y varias laŭ la tipo de sistemo.

La montopunkto por subdampitaj duaordaj sistemoj estas 0% al 100%, por kritike dampitaj sistemoj ĝi estas 5% al 95%, kaj por superdampitaj sistemoj ĝi estas 10% al 90%.

Ekvacio de Montopunkto

Por la kalkulo en tempodoma analizo, ni konsideras unuaordan sistemon kaj duaordan sistemon.

Do, por kalkuli la formulon por montopunkto, ni konsideras unuaordan kaj duaordan sistemojn.

Montopunkto de Unuaorda Sistemo

La unuaorda sistemo estas konsiderata per la sekva fermitcirkvittransfunkcio.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

En la transforma transdonada, T estas difinita kiel tempa konstanto. La karakterizoj de unuaorda sistemo en la tempdomajno estas kalkulitaj laŭ la tempa konstanto T.

Nun, supozu ke la referenca enigo de la fermita ciklosistemo estas unueca ŝtupofunkcio. Kaj ĝi estas difinita laŭ la Laplace-transformo kiel;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Do, la eligsignalo estos difinita kiel;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Solvu ĉi tiun ekvacion per partaj frakcioj;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Nun, trovu la valorojn de A1 kaj A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Por s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Por s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Do tio,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Prezentante la inversan Laplaca transformon;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Nun, ni kalkulas la alirtempo inter 10% kaj 90% de la fina valoro.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad kaj \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Simile;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Nun, por la saliga tempo tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Aligradtempo de duaorda sistemo

En duaorda sistemo, la aligradtempo kalkuliĝas de 0% ĝis 100% por subdampita sistemo, de 10% ĝis 90% por superdampita sistemo, kaj de 5% ĝis 95% por kritike dampita sistemo.

Ĉi tie, ni diskutos la kalkulon de la aligradtempo por duaorda sistemo. Kaj la ekvacio por duaorda sistemo estas;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

La aligradtempo estas signata per tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Kie,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Do tio, la fina formulo de la monta tempo estas;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Kiel Kalkuli la Montan Tempon?

Unuaorda Sistemo

Ekzemple, trovu la montan tempon de unuaorda sistemo. La transmetofunkcio de unuaorda sistemo estas montrita en la suba ekvacio.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Komparu la transdonan funkcion kun la norma formo de transdona funkcio.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Do; a=2 kaj b=5;

La ekstremiga tempo por unua ordo sistemo estas;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Sistemo de dua ordo

Trovu la montigon de sistemo de dua ordo kun natura frekvenco de 5 rad/sec kaj amortiga proporcio de 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

La ekvacio por la pligrandiĝo-tempo de duaorda sistemo estas

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Nun ni devas trovi la valorojn de φ kaj ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Nun, por ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Metu tiujn valorojn en la ekvacio de la saltempo;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Kial asciigotempo estas 10% ĝis 90%?

Por kalkuli la asciigotempon, ne estas devige mezuri la tempon inter 10% ĝis 90%.

Sed en plej multaj okazoj, la asciigotempo kalkuliĝas inter tiuj valoroj.

Ni uzas tiujn valorojn ĉar la signaloj povas havi tre malsamajn ondformojn en la unua kaj lasta partoj de ilia fina valoro.

Ekzemple, rigardu la komutadonstruon sube:

Ĉi tio estis ĉe valoro proksima al nul por ioma tempo antaŭ ol ĝi komencis pligrandiĝi kaj atingi sian finan valoron.

Ne estus taŭge kalkuli la “pligrandigantan tempon” ekde kiam la valoro estis je nul, ĉar tio ne reprezentus la tempon kiun la signalo bezonis por pligrandiĝi dum tiu intermedia stato (klare okazis iu trigerilo je la komenco de Tr).

Je la fino, ni uzas 90% anstataŭ 100%, ĉar ofte signaloj neniam atingas sian finan valoron.

Simile al kiel logaritma grafikaĵo aspektas, ĝi neniam tute atingos 100%, kun la gradianto de la grafikaĵo malkreskanta dum tempo.

Do por resumi: ŝaltiloj havas malsamajn ŝaltadpadronojn je la komencaj kaj finaj stadioj.

Sed dum la transiro inter tiuj stadioj, ĉiuj aparatoj havas similan pligrandigpadronon. Kaj mezurado de 10% ĝis 90% de tiu transiro kutime donas justan reprezenton de la pligrandigtempo trans larĝa gamo de aparatoj.

Tial, en plej multaj kondiĉoj, ni kalkulas la pligrandigtempon inter 10% kaj 90%.

Pligrandigtempo kontraŭ Malgrandigtempo

Malgrandigtempo estas difinita kiel tempo necesata por signalo malgrandigi (malkreski) de specifa valoro (X) al alia specifa valoro (Y).

En plej multaj kazoj, la supro specifa valoro (X) estas 90% de la pika valoro kaj la suba specifa valoro estas 10% de la pika valoro. Diagramo ilustranta malgrandigtempo montriĝas sube.

rise time vs fall time — Pligrandigtempo kontraŭ Malgrandigtempo

Do en iu senco la malgrandigtempo povas esti konsiderata kiel inverso de la pligrandigtempo, en terminoj de kiel ĝi estas kalkulita.

Sed estas grave substreki, ke la faltempo ne nepre egalas al la pligrandiĝtempo.

Nekonsiderante se vi havas simetrian ondon (kiel sinusa ondo), la pligrandiĝtempo kaj la faltempo estas sendependaj.

Kaj ne ekzistas ĝeneraligita rilato inter la pligrandiĝtempo kaj la faltempo. Ambaŭ kvantoj ludas gravan rolon por signalanalizo en regilsistemoj kaj ciferelektroniko.

Pligrandiĝtempo kaj Bandaĵo

Por praktike mezuri la signalon, ni uzas osciloskopon. Se ni scias la signalan pligrandiĝtempon, ni povas trovi la signalan bandaĵon por testado.

Tio helpos elekti osciloskopon kun pli granda aŭ egala bandaĵo. Kaj ĝi donos akuratajn montrilojn en la osciloskopo.

Se ni scias la signalan pligrandiĝtempon, ni povas trovi kiom la osciloskopo malrapidos la signalon kaj aldonos al ĝia pligrandiĝtempo.

La rilato inter bandaĵo (BW) kaj pligrandiĝtempo (tr) esprimiĝas per la formulo sube.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

La supra formulo supozas, ke la pligrandiĝtempo estas mezurata en la amplekso de 10% ĝis 90% de la fina valoro.

La konvenaj unuoj de bandaĵo estas MHz aŭ GHz kaj por pligrandiĝtempo μs aŭ ns.

Se la eniga amplifikiloj de osciloskopo havas simplecan frekvencan respondon, la numeratoro 0.35 donas akuran rezulton.

Sed multaj osciloskopoj havas pli rapidan malfunkciigon por doni pli ebenan frekvencon respondon en la pasbanda. En tia kondiĉo, la numeratoro pliiĝas al 0.45 aŭ pli.

Ekzemple, kiam kvadrata ondo estas montrita sur osciloskopo, ĝi havas montadon de 10-90% en 1ns. Kiu estos la proksima pasvendo de la osciloskopo?

Per anstataŭigo de tiuj nombroj en la formulo supre,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$