Vreme uspona: Šta je to? (Jednačina i kako ga izračunati)

Polje: Osnovna elektronika

China

šta je vreme uspona

Šta je vreme uspona

Vreme uspona se definiše kao vreme potrebno signalu da pređe od navedene niske vrednosti do navedene visoke vrednosti. U analognim i digitalnim elektronici, navedene niže i više vrednosti su 10% i 90% konačne ili stabilne vrednosti. Stoga se vreme uspona tipično definiše kao vreme potrebno signalu da pređe od 10% do 90% njegove konačne vrednosti.

Vreme uspona je ključni parametar u analognim i digitalnim sistemima. Opisuje vreme potrebno izlazu da stigne od jednog nivoa na drugi u analognom sistemu, što ima mnoge praktične implikacije. Vreme uspona nam govori koliko dugo signal provede u međustanju između dva validna logička nivoa u digitalnom sistemu.

U teoriji kontrole, vreme uspona se definiše kao vreme potrebno odgovoru da stigne od X% do Y% njegove konačne vrednosti. Vrednosti X i Y variraju u zavisnosti od tipa sistema.

Vreme uspona za podusporavljane sisteme drugog reda je 0% do 100%, za kritično usporavljane sisteme 5% do 95%, a za preusporavljane sisteme 10% do 90%.

Jednačina vremena uspona

Za izračunavanje u analizi u vremenskom domenu, razmatramo sisteme prvog i drugog reda.

Stoga, kako bismo izračunali formulu za vreme uspona, razmatramo sisteme prvog i drugog reda.

Vreme uspona sistema prvog reda

Sistem prvog reda se razmatra putem sledeće zatvorene petlje transfer funkcije.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

U funkciji prenosa, T je definisana kao vremenska konstanta. Vremenske karakteristike prvog reda sistema se izračunavaju u odnosu na vremensku konstantu T.

Sada, pretpostavimo da je referentni ulaz zatvorenog sistema jedinična step funkcija. I ona je definisana u smislu Laplaceove transformacije kao;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Dakle, izlazni signal će biti definisan kao;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Rešite ovu jednačinu koristeći parcijalne razlomke;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Sada pronađite vrednosti za A1 i A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Za s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Za s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Dakle,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Uzimajući inverznu Laplaceovu transformaciju;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Sada izračunavamo vreme uspona između 10% i 90% konačne vrednosti.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Slično;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Sada, za vreme uspona tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Vreme uspona sistema drugog reda

U sistemu drugog reda, vreme uspona se izračunava od 0% do 100% za podusporavljavanje, 10% do 90% za preusporavljavanje i 5% do 95% za kritično usporavljavanje.

Ovdje ćemo diskutovati o izračunavanju vremena uspona za sistem drugog reda. Jednačina za sistem drugog reda je;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Vreme uspona označeno je sa tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Gde je,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Dakle, konačna formula za vreme uspona je;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Kako izračunati vreme uspona?

Prvi redni sistem

Na primer, odredite vreme uspona prvog rednog sistema. Funkcija prenosa prvog rednog sistema prikazana je u donjoj jednačini.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Uporedite transfer funkciju sa standardnom formom transfer funkcije.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Dakle; a=2 i b=5;

Jednačina vremena porasta za sistem prvog reda je;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Система другог реда

Пronađite vreme uspona sistema drugog reda sa prirodnom frekvencijom od 5 rad/sec i koeficijentom prigušenja od 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Jednačina za vreme uspona za sistem drugog reda je;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Sada, potrebno je pronaći vrednosti за ф и ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Sada, za ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Upišite ove vrednosti u jednačinu vremena porasta;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Zašto je vreme uspona 10% do 90%?

Za izračunavanje vremena uspona nije obavezno da merimo vreme između 10% i 90%.

Ali u većini slučajeva, vreme uspona se izračunava između ovih vrednosti.

Koristimo ove vrednosti zato što signali mogu imati vrlo različite talase u prvom i poslednjem delu svojih konačnih vrednosti.

Na primer, uzimajući u obzir sledeći šemu preključivanja:

Vrednost je bila približno nula neko vreme pre nego što se počela penjati i dostići svoju konačnu vrednost.

Ne bi bilo prikladno izračunavati „vreme uspona“ od trenutka kada je vrednost bila nula, jer to ne bi bilo reprezentativno za vreme potrebno signalu da se penje tokom ovog međusostojanja (jasno je da se neki okidač dogodio na početku Tr).

Na kraju, koristimo 90% umesto 100% zato što signali često nikada ne dostignu svoju konačnu vrednost.

Slično tome kako izgleda logaritamski grafik, on nikada neće doista dostići 100%, s nagibom grafa koji se smanjuje tokom vremena.

Da zaključimo: uređaji za prekidaju različite šematske obrazce na početku i kraju.

Ali tokom prelaza između ovih faza, svi uređaji imaju sličan obrazac uspona. I merenje od 10% do 90% ovog prelaza tipično daje pravednu reprezentaciju vremena uspona na širokom spektru uređaja.

Stoga, u većini uslova, mi izračunavamo vreme uspona između 10% i 90%.

Vreme uspona vs Vreme padanja

Vreme padanja definisano je kao vreme koje signal treba da pada (smanji) sa određene vrednosti (X) na drugu određenu vrednost (Y).

U većini slučajeva, gornja određena vrednost (X) je 90% vrhunske vrednosti, a donja određena vrednost je 10% vrhunske vrednosti. Dijagram koji ilustruje vreme padanja prikazan je ispod.

rise time vs fall time — Vreme uspona vs Vreme padanja

Dakle, u nekom smislu, vreme padanja može se smatrati inverznim vremenu uspona, u pogledu načina njegovog izračunavanja.

Međutim, važno je naglasiti da vreme padanja ne mora nužno da bude jednako vremenu uspona.

Osim ako nemate simetričnu talas (kao što je sinusni talas), vreme uspona i vreme padanja su nezavisna.

Ne postoji generalizovana veza između vremena uspona i vremena padanja. Obe veličine igraju ključnu ulogu u analizi signala u kontrolnim sistemima i digitalnoj elektronici.

Vreme uspona i pojas prolaska

Za praktično merenje signala koristimo osciloskop. Ako znamo vreme uspona signala, možemo odrediti pojas prolaska signala za testiranje.

To će pomoći u izboru osciloskopa sa većim ili jednakim pojasom prolaska. I to će dati tačne rezultate prikaza na osciloskopu.

Ako znamo vreme uspona signala, možemo odrediti koliko će osciloskop usporiti signal i dodati na njegovo vreme uspona.

Veza između pojasa prolaska (BW) i vremena uspona (tr) izražava se formulom ispod.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Prethodna formula pretpostavlja da se vreme uspona mjeri u opsegu od 10% do 90% konačne vrijednosti.

Ugodne jedinice za pojas prolaska su MHz ili GHz, a za vreme uspona μs ili ns.

Ako ulazni pojačivači osciloskopa imaju jednostavnu frekvencijsku karakteristiku, brojnik 0.35 daje tačan rezultat.

Ali mnogi osciloskopi imaju brže padanje kako bi se osigurala ravnijska frekvencijska karakteristika u propusnom opsegu. U tom slučaju, brojnik se povećava na 0.45 ili više.

Na primer, kada se kvadratni talas prikazuje na osciloskopu, ima vreme uspona od 10-90% od 1ns. Koji će približno biti pojas opsega osciloskopa?

Zamenom ovih brojeva u formulu iznad,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$