Yükselme Süresi: Nedir? (Denklem ve Nasıl Hesaplanır)

Alan: Temel Elektrik

China

ne zaman yükseliş süresi

Yükseliş Süresi Nedir?

Yükseliş süresi, bir sinyalin belirli düşük değerden belirli yüksek değere geçmesi için geçen süreyi ifade eder. Analog ve dijital elektroniklerde, belirtilen düşük değer ve belirtilen yüksek değer genellikle son veya durağan değerinin %10 ve %90'ıdır. Bu nedenle, yükseliş süresi tipik olarak bir sinyalin son değerinin %10'dan %90'a kadar ne kadar sürdüğü şeklinde tanımlanır.

Yükseliş süresi, analog ve dijital sistemlerde temel bir parametredir. Bir analog sistemin çıktısının bir seviyeden diğerine yükselmek için geçen süreyi tanımlar, bu birçok gerçek dünya uygulamasına sahiptir. Dijital bir sistemde ise yükseliş süresi, iki geçerli mantık seviyesi arasındaki ara durumda sinyalin ne kadar süre geçirdiğini gösterir.

Kontrol teorisinde, yükseliş süresi, tepkiden X%'den Y%'ye kadar yükselmek için geçen süreyi ifade eder. X ve Y değerleri, sistemin türüne göre değişir.

Alt kritik ikinci derece sistemler için yükseliş süresi %0'dan %100'e, kritik döndürme sistemleri için %5'ten %95'e, aşırı döndürme sistemleri için ise %10'dan %90'a kadardır.

Yükseliş Süresi Denklemi

Zaman domain analizi için hesaplama yaparken, birinci derece sistem ve ikinci derece sistemleri göz önünde bulunduruyoruz.

Bu nedenle, yükseliş süresi formülü için birinci derece ve ikinci derece sistemleri göz önünde bulunduruyoruz.

Birinci Derece Sistemin Yükseliş Süresi

Birinci derece sistem, aşağıdaki kapalı döngü aktarım fonksiyonu ile ele alınıyor.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Transfer fonksiyonunda T, zaman sabiti olarak tanımlanır. Birinci derece sistemin zaman domen özellikleri, zaman sabiti T cinsinden hesaplanır.

Şimdi, kapalı döngü sisteminin referans girdisi birim adım fonksiyonu olduğunu varsayalım. Bu, Laplace dönüşümü cinsinden şu şekilde tanımlanır;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Bu nedenle, çıkış sinyali şu şekilde tanımlanacaktır;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Bu denklemi kısmi kesirlere ayırarak çözün;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Şimdi, A1 ve A2 değerlerini bulalım;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

s=0 için;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s=-1/T için;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Bundan dolayı,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Laplace dönüşümünün tersini alarak;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Şimdi, son değerinin %10 ile %90 arasında kalan yükseliş süresini hesaplıyoruz.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Benzer şekilde;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Şimdi, yükseliş süresi tr için;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

İkinci Derece Sistemin Yükselme Süresi

İkinci derece bir sistemde, yükseltme süresi, az salınan sistem için %0'dan %100'e, aşırı salınan sistem için %10'dan %90'a, kritik salınımlı sistem için ise %5'ten %95'e hesaplanır.

Burada, ikinci derece sistemin yükseltme süresinin hesaplamasını ele alacağız. İkinci derece sistemin denklemi şöyledir;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Yükseltme süresi, tr ile gösterilir.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Burada,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Bu nedenle, yükseltme süresinin son formülü;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Yükseltme Süresi Nasıl Hesaplanır?

Birinci Derece Sistemi

Örneğin, birinci derece sisteminin yükseltme süresini bulalım. Birinci derece sistemin aktarım fonksiyonu aşağıdaki denklemde gösterilmiştir.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Transfer fonksiyonunu standart transfer fonksiyon formuyla karşılaştırın.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Bu nedenle; a=2 ve b=5;

Birinci derece sistemin yükseliş zamanı denklemi şöyledir;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

İkinci Derece Sistem

Doğal frekansı 5 rad/s ve sönüm oranı 0.6 olan ikinci derece sistemin yükseliş süresini bulun.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

İkinci derece sistemin yükseliş zamanı denklemi şöyledir;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Şimdi, ф ve ωd değerlerini bulmalıyız.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Şimdi, ω içind,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Bu değerleri yükseltme süresi denklemine yerleştirin;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Neden Yükselme Süresi %10 ile %90 Arasında Ölçülür?

Yükselme süresini hesaplamak için %10 ile %90 arasında zaman ölçmemiz zorunlu değildir.

Ancak çoğu durumda, bu değerler arasında yükselme süresi hesaplanır.

Bu değerleri kullanıyoruz çünkü sinyaller, son değerlerinin en baş ve son kısımlarında çok farklı dalga şekilleri gösterebilir.

Örneğin, aşağıdaki anahtarlama desenine bakın:

Bir süre boyunca değeri yaklaşık sıfır olan bu değer, yükselmeye başlayıp nihai değerine ulaşana kadar arttı.

Değer sıfır olduğunda “yükselme süresi”ni hesaplamak uygun olmazdı, çünkü bu, sinyelin bu ara durumda (açıkça Tr'nin başlangıcında bazı tetikleyici bir olayın olduğunu gösteriyor) yükseldiği süreyi temsil etmezdi.

Son aşamada, sinyaller genellikle nihai değerlerine ulaşamadığı için 100% yerine %90 kullanıyoruz.

Logaritmik bir grafiğin görünümüne benzer şekilde, asla tam olarak %100'ü geçmeyecek ve zaman içinde grafiğin eğimi azalacaktır.

Özetle: anahtarlama cihazları, başlangıç ve bitiş aşamalarında farklı anahtarlama desenlerine sahiptir.

Ancak bu aşamalar arasındaki geçiş sırasında, tüm cihazlar benzer bir yükselme desenine sahiptir. Ve bu geçişin %10 ile %90 arasında ölçülmesi, geniş bir cihaz yelpazesinde yükselme süresini adil bir şekilde temsil eder.

Bu nedenle, çoğu koşulda, %10 ile %90 arasında yükselme süresini hesaplarız.

Yükselme Süresi vs Düşme Süresi

Düşme süresi, bir sinyelin belirli bir değerden (X) başka bir belirli değere (Y) düşmesi (azalması) için geçen süredir.

Çoğu durumda, üst belirli değer (X) zirve değerinin %90'ıdır ve alt belirli değer zirve değerinin %10'udur. Aşağıdaki diyagram düşme süresini göstermektedir.

rise time vs fall time — Yükselme Süresi vs Düşme Süresi

Bu anlamda, düşme süresi, hesaplama açısından yükselme süresinin tersi olarak kabul edilebilir.

Ancak düşme süresinin yükselme süresine eşit olması gerekmediğini vurgulamak önemlidir.

Sinüs dalgası gibi simetrik bir dalga formuna sahip olmadığınız sürece, yükselme süresi ve düşme süresi bağımsızdır.

Yükselme süresi ile düşme süresi arasında genelleştirilmiş bir ilişki yoktur. Her iki büyüklük de kontrol sistemlerinde ve dijital elektronikte sinyal analizi açısından çok önemli rol oynar.

Yükselme Süresi ve Bant Genişliği

Sinyali pratik olarak ölçmek için bir osiloskop kullanırız. Sinyalin yükselme süresini biliyorsak, test için sinyalin bant genişliğini bulabiliriz.

Bu, daha büyük veya eşit bant genişliğine sahip bir osiloskop seçmeye yardımcı olur. Ayrıca osiloskopta doğru görüntüleme sonuçları verir.

Sinyalin yükselme süresini biliyorsak, osiloskop sinyali ne kadar yavaşlatacağını ve yükselme süresine ne kadar ekleyeceğini bulabiliriz.

Bant genişliği (BW) ile yükselme süresi (tr) arasındaki ilişki aşağıdaki formülle ifade edilir.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Yukarıdaki formül, yükselme süresinin nihai değerin %10'undan %90'ına kadar ölçüldüğünü varsayar.

Bant genişliğinin uygun birimleri MHz veya GHz ve yükselme süresi için μs veya ns'tir.

Bir osiloskobun giriş amplifikatörlerinin basit bir frekans tepkisi varsa, payda 0.35 doğru sonucu verir.

Ancak birçok osiloskop, geçiş bandında daha düz bir frekans tepkisi elde etmek için daha hızlı bir azalmaya sahiptir. Bu durumda, payda 0.45 veya daha fazlasına çıkarılır.

Örneğin, bir kare dalga osiloskop üzerinde gösterildiğinde, %10-90 yükseliş süresi 1ns'dir. Osiloskopun yaklaşık bant genişliği ne olacaktır?

Bu sayıları yukarıdaki formülde yerine koyarak,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$