Temps de montée : Qu'est-ce que c'est? (Équation et comment le calculer)

Champ: Électricité de base

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qu'est-ce que le temps de montée

Qu'est-ce que le temps de montée?

Le temps de montée est défini comme le temps nécessaire pour qu'un signal passe d'une valeur basse spécifiée à une valeur haute spécifiée. En électronique analogique et numérique, les valeurs inférieure et supérieure spécifiées sont respectivement 10 % et 90 % de la valeur finale ou d'état stable. Ainsi, le temps de montée est généralement défini comme le temps nécessaire pour qu'un signal passe de 10 % à 90 % de sa valeur finale.

Le temps de montée est un paramètre essentiel dans les systèmes analogiques et numériques. Il décrit le temps nécessaire pour que la sortie passe d'un niveau à un autre dans un système analogique, ce qui a de nombreuses implications dans le monde réel. Le temps de montée nous indique combien de temps un signal passe dans l'état intermédiaire entre deux niveaux logiques valides dans un système numérique.

En théorie du contrôle, le temps de montée est défini comme le temps nécessaire pour que la réponse passe de X % à Y % de sa valeur finale. Les valeurs de X et Y varient selon le type de système.

Le temps de montée pour les systèmes du second ordre sous-amortis est de 0 % à 100 %, pour les systèmes critique amorti il est de 5 % à 95 %, et pour les systèmes suramortis il est de 10 % à 90 %.

Équation du temps de montée

Pour le calcul en analyse temporelle, nous considérons les systèmes du premier ordre et du second ordre.

Ainsi, pour calculer la formule du temps de montée, nous considérons les systèmes du premier et du second ordre.

Temps de montée d'un système du premier ordre

Le système du premier ordre est considéré par la fonction de transfert en boucle fermée suivante.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

Dans la fonction de transfert, T est défini comme une constante de temps. Les caractéristiques du système du premier ordre dans le domaine temporel sont calculées en termes de constante de temps T.

Maintenant, supposons que l'entrée de référence du système en boucle fermée est une fonction échelon unitaire. Elle est définie en termes de transformée de Laplace par :

$R(s) = \frac{1}{s}$

Ainsi, le signal de sortie sera défini par :

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Résolvez cette équation en utilisant la décomposition en éléments simples ;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Maintenant, trouvez les valeurs de A1 et A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Pour s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

Pour s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Par conséquent,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

En prenant la transformée de Laplace inverse ;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Maintenant, nous calculons le temps de montée entre 10 % et 90 % de la valeur finale.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

De même ;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Maintenant, pour le temps de montée tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Temps de montée d'un système du second ordre

Dans un système du second ordre, le temps de montée est calculé de 0% à 100% pour le système sous-amorti, de 10% à 90% pour le système suramorti, et de 5% à 95% pour le système critique.

Ici, nous discuterons du calcul du temps de montée pour un système du second ordre. Et l'équation pour un système du second ordre est ;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Le temps de montée est noté par tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$\sin(\omega_d t_r + \phi) = \sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Où,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Par conséquent, la formule finale du temps de montée est ;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Comment calculer le temps de montée ?

Système du premier ordre

Par exemple, trouvez le temps de montée d'un système du premier ordre. La fonction de transfert d'un système du premier ordre est montrée dans l'équation ci-dessous.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Comparez la fonction de transfert avec la forme standard de la fonction de transfert.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Ainsi ; a=2 et b=5 ;

L'équation du temps de montée pour un système du premier ordre est ;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Système du second ordre

Trouvez le temps de montée d'un système du second ordre avec une fréquence naturelle de 5 rad/sec et un rapport d'amortissement de 0,6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

L'équation du temps de montée pour un système du second ordre est ;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Maintenant, nous devons trouver la valeur de ф et ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Maintenant, pour ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Insérez ces valeurs dans l'équation du temps de montée ;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Pourquoi le temps de montée est-il de 10% à 90%?

Pour calculer le temps de montée, il n'est pas obligatoire de mesurer le temps entre 10% et 90%.

Cependant, dans la plupart des cas, le temps de montée est calculé entre ces valeurs.

Nous utilisons ces valeurs car les signaux peuvent présenter des formes d'onde très différentes dans les premières et dernières parties de leurs valeurs finales.

Par exemple, prenons le schéma de commutation ci-dessous:

Cette valeur était d'environ zéro pendant un certain temps avant de monter et d'atteindre sa valeur finale.

Il ne serait pas approprié de calculer le "temps de montée" à partir du moment où la valeur était à zéro, car cela ne représenterait pas le temps nécessaire pour que le signal monte pendant cet état intermédiaire (il est clair qu'un déclenchement s'est produit au début de Tr).

À la fin, nous utilisons 90% au lieu de 100% car souvent les signaux n'atteignent jamais leur valeur finale.

De manière similaire à l'apparence d'un graphique logarithmique, il n'atteindra jamais vraiment 100%, avec la pente du graphique diminuant au fil du temps.

Pour résumer : les dispositifs de commutation ont des schémas de commutation différents aux stades de début et de fin.

Mais pendant la transition entre ces stades, tous les dispositifs ont un schéma de montée similaire. Et mesurer 10% à 90% de cette transition donne généralement une représentation équitable du temps de montée sur une large gamme de dispositifs.

Ainsi, dans la plupart des conditions, nous calculons le temps de montée entre 10% et 90%.

Temps de montée vs Temps de descente

Le temps de descente est défini comme le temps pris par un signal pour descendre (diminuer) d'une valeur spécifiée (X) à une autre valeur spécifiée (Y).

Dans la plupart des cas, la valeur supérieure spécifiée (X) est de 90% de la valeur maximale et la valeur inférieure spécifiée de 10% de la valeur maximale. Un diagramme illustrant le temps de descente est montré ci-dessous.

rise time vs fall time — Temps de montée vs Temps de descente

Ainsi, en un sens, le temps de descente peut être considéré comme l'inverse du temps de montée, en termes de la façon dont il est calculé.

Il est important de souligner que le temps de descente n'est pas nécessairement égal au temps de montée.

À moins d'avoir une onde symétrique (comme une onde sinusoïdale), le temps de montée et le temps de descente sont indépendants.

Et il n'y a pas de relation généralisée entre le temps de montée et le temps de descente. Ces deux quantités jouent un rôle vital dans l'analyse des signaux dans les systèmes de contrôle et l'électronique numérique.

Temps de montée et bande passante

Pour mesurer le signal en pratique, nous utilisons un oscilloscope. Si nous connaissons le temps de montée du signal, nous pouvons déterminer la bande passante du signal pour les tests.

Cela aidera à choisir un oscilloscope avec une bande passante supérieure ou égale. Et cela donnera des résultats d'affichage précis sur l'oscilloscope.

Si nous connaissons le temps de montée du signal, nous pouvons déterminer dans quelle mesure l'oscilloscope ralentira le signal et augmentera son temps de montée.

La relation entre la bande passante (BW) et le temps de montée (tr) est exprimée par la formule ci-dessous.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

La formule ci-dessus suppose que le temps de montée est mesuré dans la plage de 10 % à 90 % de la valeur finale.

Les unités pratiques de la bande passante sont MHz ou GHz et pour le temps de montée μs ou ns.

Si les amplificateurs d'entrée de l'oscilloscope ont une réponse en fréquence simple, le numérateur 0,35 donne un résultat précis.

Mais de nombreux oscilloscopes ont une décroissance plus rapide pour offrir une réponse en fréquence plus plate dans la bande passante. Dans ce cas, le numérateur est augmenté à 0,45 ou plus.

Par exemple, lorsqu'une onde carrée est affichée sur un oscilloscope, elle a un temps de montée de 10-90 % de 1 ns. Quelle sera la bande passante approximative de l'oscilloscope ?

En substituant ces chiffres dans la formule ci-dessus,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$

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