Felbuzulási idő: Miben áll? (Egyenlet és számítása)

Mező: Alapvető Elektrotechnika

China

mi a felemelési idő

Mi a felemelési idő?

A felemelési idő az a idő, amelyet egy jelnek kell eltöltenie, hogy elérje a megadott alacsony értéktől a megadott magas értékig. Az analóg és digitális elektronikában a megadott alsó és felső értékek a végső vagy állandó állapot értékének 10%-a és 90%-a. Tehát a felemelési idő általában úgy definiálódik, hogy mennyi ideig tart, amíg a jel eléri a végső értékének 10%-ától 90%-áig.

A felemelési idő egy lényeges paraméter az analóg és digitális rendszerekben. Leírja, hogy mennyi ideig tart, amíg az analóg rendszer kimenete egy szinttől a másikra emelkedik, ami sok valós alkalmazásban fontos. A digitális rendszerekben a felemelési idő azt mutatja, hogy mennyi ideig tart a jel a két érvényes logikai szint közötti köztes állapotban.

A vezérléselméletben a felemelési idő az a idő, amelyet a válasznak kell eltöltenie, hogy X%-tól Y%-ig emelkedjen a végső értékére. Az X és Y értékei a rendszer típusától függően változnak.

Az alulkímélt másodrendű rendszerek esetén a felemelési idő 0%-tól 100%-ig, a kritikusan kímélt rendszerek esetén 5%-tól 95%-ig, míg a túlkímélt rendszerek esetén 10%-tól 90%-ig.

Felemelési idő egyenlete

Az időtartománybeli elemzéshez elsőrendű és másodrendű rendszereket veszünk figyelembe.

Tehát, a felemelési idő képletének kiszámításához elsőrendű és másodrendű rendszereket veszünk figyelembe.

Elsőrendű rendszer felemelési ideje

Az elsőrendű rendszert a következő zárt hurokátmeneti függvénnyel írjuk le.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

A továbbítási függvényben T definiálva van időállandóként. Az elsőrendű rendszer időtartománybeli jellemzői az időállandó T függvényeként számolhatók.

Most tegyük fel, hogy a zárt hurok rendszer referenciabevitele egy egységugrás függvény. Ez Laplace-transzformált formában így definiálható:

$R(s) = \frac{1}{s}$

Tehát a kimeneti jel a következőképpen definiálható:

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Oldalak részes törttel oldja meg ezt az egyenletet;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Most adjuk meg A1 és A2 értékét;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

Ha s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

s=-1/T esetén;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Ezért,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

A Laplace-transzformált inverzének meghatározása:

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Most számoljuk ki az emelkedési időt a végérték 10% és 90%-a között.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Hasonlóan;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Most, a tr időállomány esetén;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Másodrendű rendszer felvés ideje

Egy másodrendű rendszerben a felvés időt 0%-ról 100%-ig számítjuk ki az alulcsillapított rendszer esetén, 10%-ról 90%-ig a túlcsillapított rendszer esetén, és 5%-ról 95%-ig a kritikusan csillapított rendszer esetén.

Itt megbeszéljük egy másodrendű rendszer felvés idejének kiszámítását. Egy másodrendű rendszer egyenlete a következő:

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

A felvés időt tr-vel jelöljük.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Ahol,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Ezért, az emelkedési idő végleges képlete:

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Hogyan számoljuk ki az emelkedési időt?

Elsőrendű rendszer

Például, egy elsőrendű rendszer emelkedési idejének meghatározása. Az elsőrendű rendszer átmeneti függvénye a következő egyenletben látható.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Összehasonlítsa a továbbítási függvényt a továbbítási függvény szabványos formájával.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Tehát; a=2 és b=5;

Egy elsőrendű rendszer felkelési időjének egyenlete:

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Másodrendű rendszer

Egy másodrendű rendszer emelési idejének meghatározása 5 rad/sec természetes frekvenciával és 0,6 súrlódási aránnyal.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

A másodrendű rendszer feljegyzési időjének egyenlete:

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Most meg kell határoznunk a φ és ωd értékét.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Most az ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Tegye fel ezeket az értékeket a felvillanási idő egyenletébe;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Miért a 10% és 90% közötti emelkedési idő?

Az emelkedési idő kiszámításához nem kötelező a 10% és 90% közötti időt mérni.

De a legtöbb esetben az emelkedési idő ezen értékek között van kiszámítva.

Ezeket az értékeket használjuk, mert a jellegzetes hullámformák sokszor nagyon eltérőek a végértékek kezdeti és végső részeinél.

Például, vegyünk egy kapcsoló mintát:

Ez volt közel nullához értékben egy ideig, mielőtt emelkedni kezdett és végül elérte a végső értéket.

Nem megfelelő lenne a „felfutás időtartamának” kiszámítása abban az időpontban, amikor az érték nulla volt, mert ez nem jellemző lenne a jel felfutásának időtartamára ebben a köztes állapotban (nyilvánvalóan valamilyen esemény indult el Tr elején).

A végén 90%-ot használunk, nem pedig 100%-ot, mert gyakran a jelek sosem érik el a végső értéküket.

Hasonlóan ahhoz, ahogy egy logaritmikus grafikon kinéz, sosem éri el teljesen a 100%-ot, a grafikon meredeksége pedig idővel csökken.

Összefoglalva: a kapcsolóeszközök különböző kapcsolási mintákkal rendelkeznek a kezdeti és végleges szakaszokban.

De ezek a szakaszok közötti átmenet során minden eszköz hasonló felfutási mintát mutat. A 10% és 90% közötti mérés általában ad egy tisztességes képet a felfutás időtartamáról széles körű eszközökön.

Ezért a legtöbb esetben a felfutás időtartamát a 10% és 90% között számítjuk ki.

Felfutás időtartama vs. Esés időtartama

Az esés időtartama definiálható, mint a jelnek az időtartama, amely alatt a jel csökken egy meghatározott értékről (X) egy másik meghatározott értékre (Y).

A legtöbb esetben a felső meghatározott érték (X) a csúcsérték 90%-a, a alsó meghatározott érték pedig a csúcsérték 10%-a. Az esés időtartamát illusztráló diagram látható alább.

rise time vs fall time — Felfutás időtartama vs. Esés időtartama

Ezért a szempontból az esés időtartama tekinthető a felfutás időtartamának inverzének, ahogyan azt kiszámítják.

Fontos kiemelni, hogy a csökkenési idő nem feltétlenül egyenlő a növekedési idővel.

Hacsak nem szimmetrikus hullámot (például szinusz hullámot) használunk, a növekedési idő és a csökkenési idő függetlenek.

Nincs általános kapcsolat a növekedési idő és a csökkenési idő között. Mindkét mennyiség kulcsfontosságú szerepet játszik a jelanalízisben irányítási rendszerekben és digitális elektronikában.

Növekedési Idő és Sávvidék

A jel gyakorlati mérésekor oszcilloszkópot használunk. Ha ismerjük a jel növekedési idejét, meghatározhatjuk a jel sávvidékét a teszteléshez.

Ez segít abban, hogy nagyobb vagy egyenlő sávvidékkel rendelkező oszcilloszkópot válasszunk. Ez pontos megjelenítési eredményt ad az oszcilloszkópon.

Ha ismerjük a jel növekedési idejét, meghatározhatjuk, hogy mennyire lassítja a jel növekedési idejét az oszcilloszkóp.

A sávvidék (BW) és a növekedési idő (tr) közötti összefüggést az alábbi képlet fejezi ki.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

A fenti képlet azt feltételezi, hogy a növekedési idő a végérték 10%-ától 90%-áig mérve van meghatározva.

A sávvidék kényelmes egységei MHz vagy GHz, a növekedési idő esetében pedig μs vagy ns.

Ha az oszcilloszkóp bemeneti erősítői egyszerű frekvencia-választ mutatnak, a 0.35-os számláló pontos eredményt ad.

De sok oszcilloszkópnak gyorsabb lejtése van, hogy lapultabb frekvencia-választ adjon a passzív sávon belül. Ilyen esetekben a számlálót 0.45-re vagy annál magasabbra emelik.

Például, amikor egy négyzetjel megjelenik egy oszilóskopon, annak 10-90%-os emelkedési ideje 1 ns. Mekkora lesz az oszilóskop közelítő sávszélessége?

Ezek számok behelyettesítése a fenti képletbe,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$

Nyilatkozat: Tiszteletben tartsuk az eredeti tartalmat, a jó cikkek megosztásra méltók, ha sértést jelentenek, kérjük, lépjünk kapcsolatba a törlés érdekében.

Adományozz és bátorítsd a szerzőt!

Témák:

Energiaszerkezetek

Irányító rendszerek

Szakértők névjegye

Electrical4u

China