Време на повишување: Што е тоа? (Једначина и како да се пресмета)

Поле: Основни електрични

China

што е временско подигање

Што е временско подигање?

Временското подигање се дефинира како времетраење потребно за сигнал да премине од одредена ниска вредност до одредена висока вредност. Во аналогна и дигитална електроника, одредените ниска и висока вредности се 10% и 90% од крајната или стабилната вредност. Така што временското подигање типички се дефинира како колку време е потребно за сигнал да оди од 10% до 90% од својата крајна вредност.

Временското подигање е суштински параметар во аналогни и дигитални системи. Описува времетраењето потребно за излезот да се подигне од еден ниво до друг во аналоген систем, што има многу реални импликации. Временското подигање ни кажува колку долго сигнал стои во меѓусостојба помеѓу две валидни логички нивоа во дигитален систем.

Во теоријата на контрола, временското подигање се дефинира како времетраење потребно за одговорот да се подигне од X% до Y% од својата крајна вредност. Вредноста на X и Y варира според типот на систем.

Временското подигање за недодатно демпирани системи втор ред е 0% до 100%, за критично демпирани системи е 5% до 95%, а за прекудодатно демпирани системи е 10% до 90%.

Јавање на временско подигање

За пресметка во анализа на временската област, ги разгледуваме системите од прв ред и втор ред.

Значи, за да пресметаме формулата за временско подигање, ги разгледуваме системите од прв ред и втор ред.

Временско подигање на систем од прв ред

Системот од прв ред се разгледува со следната затворена функција на трансфер.

$G(s) = \frac{1}{Ts+1} = \frac{b}{s+a}$

В преносната функција, T е дефинирана како временска константа. карактеристиките во временски домен на системот од прв ред се пресметуваат во зависност од временската константа T.

Сега, претпоставете дека референтниот влез на затворениот систем е единична стапка функција. И тоа е дефинирано во термини на Лапласова трансформација како;

$R(s) = \frac{1}{s}$

Значи, излезната сигнал ќе биде дефинирана како;

$C(s) = G(s) R(s)$

$C(s) = \frac{1}{Ts+1} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s+\frac{1}{T}} \times \frac{1}{s}$

$C(s) = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

Решете ја оваа равенка со користење на делумни дропки;

$C(s) = \frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}}$

Сега, најдете ја вредноста на A1 и A2;

$\frac{A_1}{s} + \frac{A_2}{s+\frac{1}{T}} = \frac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$

$A_1 (s+\frac{1}{T}) + A_2 s = \frac{1}{T}$

За s=0;

$A_1(0+\frac{1}{T}) + A_2 (0) = \frac{1}{T}$

$A_1 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_1 = 1$

За s=-1/T;

$A_1(\frac{-1}{T} + \frac{1}{T}) + A_2 (\frac{-1}{T}) = \frac{1}{T}$

$A_1 (0) - A_2 \frac{1}{T} = \frac{1}{T}$

$A_2 = -1$

Затоа,

$C(s) = \frac{1}{s} + \frac{-1}{s+\frac{1}{T}}$

Земајќи инверзна Лапласова трансформација;

$C(t) = L^{-1} \left[ \frac{1}{s} -\frac{1}{s+\frac{1}{T}} \right]$

$C(t) = 1-e^{\frac{-t}{T}}$

Сега, пресметуваме времето на пораст од 10% до 90% од крајната вредност.

$C(t_{10}) = 0.10 \quad and \quad C(t_{90}) = 0.90$

$0.10 = 1 - e^{\frac{t_{10}}{T}}$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 1-0.10$

$e^{\frac{t_{10}}{T}} = 0.9$

$\frac{-t_{10}}{T} = ln(0.9)$

$t_{10} = -T ln(0.9)$

$t_{10} = -T (-0.1053)$

$t_{10} = 0.1053T$

Слично;

$0.90 = 1 - e^{\frac{t_{90}}{T}}$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 1 - 0.9$

$e^{\frac{t_{90}}{T}} = 0.1$

$\frac{-t_{90}}{T} = ln(0.1)$

$t_{90} = -T (-2.3025)$

$t_{90} = 2.3025T$

Сега, за времето на израстване tr;

$t_r = t_{90} - t_{10}$

$t_r = 2.3025T - 0.1053T$

$t_r = 2.197 T$

$t_r \approx 2.2T = \frac{2.2}{a}$

Време на растеж на системата од втор ред

Во системата од втор ред, временото на растеж се пресметува од 0% до 100% за поддемпфираниот систем, од 10% до 90% за прекумерно демпфираниот систем, и од 5% до 95% за критички демпфираниот систем.

Тука ќе го обсудиме пресметувањето на временото на растеж за системата од втор ред. И равенката за системата од втор ред е;

$C(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

Времето на растеж се означува со tr.

$C(t) = C(t_r) = 1$

$1 = 1 - \frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi)$

$\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}} sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = 0$

$sin(\omega_d t_r + \phi) = sin(\pi)$

$(\omega_d t_r + \phi) = (\pi)$

$\omega_d t_r = \pi - \phi$

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Каде,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\phi = tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}$

Значи, финалната формула за времето на повеќување е;

$t_r = \frac{\pi - tan^{-1} (\frac{\sqrt{1-\zeta^2})}{\zeta}}{\omega_n \sqrt{1-\zeta^2} }$

Како да се пресмета временото на повеќување?

Систем од прв ред

На пример, најдете ја временската карактеристика на систем од прв ред. Трансферната функција на систем од прв ред е прикажана во равенката подолу.

$G(s) = \frac{5}{s+2}$

Споредете преносната функција со стандардниот облик на преносна функција.

$G(s) = \frac{b}{s+a}$

Значи; a=2 и b=5;

Јазелот за време на растеж за систем од прв ред е;

$t_r = \frac{2.2}{a}$

$t_r = \frac{2.2}{2}$

$t_r = 1.1 sec$

Система од втор ред

Најдете времето на израствување на систем од втор ред со природна фреквенција од 5 рад/сек и фактор на демпфирање од 0.6.

$\omega_n = 5 rad/sec$

$\zeta = 0.6$

Јаќавата за втор ред систем е;

$t_r = \frac{\pi - \phi}{\omega_d}$

Сега, треба да најдеме вредноста на фи и ωd.

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.6 ^2}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1-0.36}}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} \left( \frac{0.8}{0.6} \right)$

$\phi = tan^{-1} (1.33)$

$\phi = 0.9272 rad$

Сега, за ωd,

$\omega_d = \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}$

$\omega_d = 5 \times 0.8$

$\omega_d = 4 rad/sec$

Внесете ги овие вредности во равенката за временото на растечење;

$t_r = \frac{3.14-0.9272}{4}$

$t_r = \frac{2.2128}{4}$

$t_r = 0.5532 sec$

Зошто е времето на растечкиот дел од 10% до 90%?

За да се пресмета временото на растечкиот дел, не е задолжително да се мери времето помеѓу 10% и 90%.

Но во повеќето случаи, временото на растечкиот дел се пресметува помеѓу овие вредности.

Овие вредности ги користиме затоа што сигналите можат да имаат многу различни форми на таласи во првата и последната дел од нивната крајна вредност.

На пример, разгледајте ја следнава шема за превклучување:

switching pattern — Шема за превклучување

Ова беше на вредност околу нула за некое време пред да се зголеми и достигне својата крајна вредност.

Не би било соодветно да се пресмета „времето на зголемување“ од моментот кога вредноста беше нула, бидејќи тоа не би била репрезентативна за времето потребно за сигналот да се зголеми во овој среден стадий (јасно дека имаше некој тригер кој се случил на почетокот на Tr).

На крајната страна, ние користиме 90% наместо 100% затоа што често сигнали никогаш не ќе достигнат својата крајна вредност.

Слично на тоа како изгледа логаритамски график, тој никогаш нема да достигне 100%, со градиентот на графикот што се намалува со текот на времето.

За да се сумира: уредите за превклучување имаат различни паттерни на превклучување во почетните и завршните фази.

Но токму во преминувањето помеѓу овие фази, сите уреди имаат сличен паттерн на зголемување. И мерењето од 10% до 90% на овој преход типички дава прифатлива репрезентација на временото на зголемување за широк спектар на уреди.

Затоа, во повеќето услови, ние пресметуваме временото на зголемување помеѓу 10% и 90%.

Времето на зголемување против времето на намалување

Времето на намалување е дефинирано како време потребно за сигнал да се намали од една специфицирана вредност (X) до друга специфицирана вредност (Y).

Во повеќето случаи, горната специфицирана вредност (X) е 90% од врвната вредност, а долната специфицирана вредност е 10% од врвната вредност. Дијаграм кој илустрира временото на намалување е прикажан подолу.

rise time vs fall time — Времето на зголемување против времето на намалување

Така, во еден смисел, временото на намалување може да се смета за инверзна на временото на зголемување, во однос на начинот на пресметка.

Но е важно да се подчертае дека временото на падење не мора да биде необходимо еднакво на временото на повеќе.

Освен ако немате симетрична волна (како синусна волна), временото на повеќе и временото на падење се независни.

И нема општо однос помеѓу временото на повеќе и временото на падење. И двете количества играат важна улога во анализата на сигналите во системите за контрола и цифралната електроника.

Време на повеќе и лентичина

За практическо мерење на сигналот, користиме осцилоскоп. Ако знаеме времето на повеќе на сигналот, можеме да ја најдеме лентичината на сигналот за тестирање.

Ова ќе помогне да избереме осцилоскоп со поголема или еднаква лентичина. И тоа ќе даде точни резултати при прикажувањето на осцилоскопот.

Ако знаеме времето на повеќе на сигналот, можеме да го најдеме колку осцилоскопот ќе забави сигналот и ќе додаде на неговото време на повеќе.

Односот помеѓу лентичината (BW) и временото на повеќе (tr) е изразен со формулата подолу.

$BW \approx \frac{0.35}{t_r}$

Горенаведената формула претпоставува дека временото на повеќе е месурено во опсег од 10% до 90% од крајната вредност.

Прифатливи единици за лентичина се МХц или ГХц, а за временото на повеќе μс или нс.

Ако входните амплификатори на осцилоскопот имаат проста фреквенциска одговор, бројникот 0.35 дава точен резултат.

Но многу осцилоскопи имаат побрз спад за да дадат посплочен фреквенциски одговор во пропусната зона. Во оваа состојба, бројникот се зголемува до 0.45 или повеќе.

На пример, кога се прикаже квадратна волна на осцилоскоп, таа има време на повеќење од 10-90% од 1нс. Колку би била приближната лентичкина ширина на осцилоскопот?

Заменувајќи ги овие броеви во формулата,

$BW = \frac{3.5}{10^{-9}} = 3.5 \times 10^{-9} = 350MHz$