روت ہر ویٹس استحکام کا معیار

معیار استحکام روت-ہر ویٹز کی تعریف

یہ سسٹم کی استحکام کا تعین کرنے کا ایک طریقہ ہے جو خصوصی مساوات کا استعمال کرتا ہے۔

معیار ہر ویٹز

خصوصی مساوات کا استعمال کرتے ہوئے، ہم کئی ہر ویٹز معینات بناسکتے ہیں تاکہ سسٹم کی استحکام کا تعین کیا جا سکے۔ سسٹم کی خصوصی مساوات کو درج ذیل طور پر تعریف کیا گیا ہے:

ایک n^ویں درجہ کی خصوصی مساوات کے لیے n معینات ہوتے ہیں۔

یہاں خصوصی مساوات کے ضرائب سے معینات کیسے لکھے جاتے ہیں۔ k^ویں درجہ کی خصوصی مساوات کے لیے درج ذیل قدم اپنائیں:

معینہ ایک : اس معینہ کی قدر |a1| سے دی جاتی ہے جہاں a1 خصوصی مساوات میں sn-1 کا ضریب ہے۔

معینہ دو : اس معینہ کی قدر نیچے دی گئی ہے

ہر قطار میں عنصر کی تعداد معینہ کی تعداد کے برابر ہوتی ہے اور یہاں معینہ کی تعداد دو ہے۔ پہلی قطار میں پہلے دو غیر جفت ضرائب شامل ہوتے ہیں اور دوسری قطار میں پہلے دو جفت ضرائب شامل ہوتے ہیں۔

معینہ تین : اس معینہ کی قدر نیچے دی گئی ہے

ہر قطار میں عنصر کی تعداد معینہ کی تعداد کے برابر ہوتی ہے اور یہاں معینہ کی تعداد تین ہے۔ پہلی قطار میں پہلے تین غیر جفت ضرائب شامل ہوتے ہیں، دوسری قطار میں پہلے تین جفت ضرائب شامل ہوتے ہیں اور تیسری قطار میں پہلا عنصر صفر ہوتا ہے اور باقی دو عناصر پہلے دو غیر جفت ضرائب ہوتے ہیں۔

معینہ چار: اس معینہ کی قدر نیچے دی گئی ہے،

ہر قطار میں عنصر کی تعداد معینہ کی تعداد کے برابر ہوتی ہے اور یہاں معینہ کی تعداد چار ہے۔ پہلی قطار میں پہلے چار ضرائب شامل ہوتے ہیں، دوسری قطار میں پہلے چار جفت ضرائب شامل ہوتے ہیں، تیسری قطار میں پہلا عنصر صفر ہوتا ہے اور باقی تین عناصر پہلے تین غیر جفت ضرائب ہوتے ہیں اور چوتھی قطار میں پہلا عنصر صفر ہوتا ہے اور باقی تین عناصر پہلے تین جفت ضرائب ہوتے ہیں۔

اسی طریقے کے ذریعے ہم معینات کی تشکیل کو عام بناسکتے ہیں۔ معینہ کی عام شکل درج ذیل ہے:

سسٹم کی استحکام کا تعین کرنے کے لیے ہر معینہ کی قدر کا حساب لگائیں۔ اگر ہر معینہ مثبت ہو تو سسٹم استحکام یافتہ ہے۔ اگر کوئی معینہ مثبت نہ ہو تو سسٹم استحکام یافتہ نہیں ہے۔

معیار روت استحکام

یہ معیار سسٹم کی استحکام کے لیے معدّل ہر ویٹز معیار کے طور پر بھی جانا جاتا ہے۔ ہم اس معیار کو دو حصوں میں مطالعہ کریں گے۔ پہلا حصہ سسٹم کی استحکام کے لیے ضروری شرط کو کور کرے گا اور دوسرا حصہ سسٹم کی استحکام کے لیے کافی شرط کو کور کرے گا۔ پھر سے سسٹم کی خصوصی مساوات کو درج ذیل طور پر سمجھیں

1)     ہسپ (نظام کی استحکام کے لیے ضروری شرط): اس میں ہمیں دو شرائط ہیں جو نیچے لکھی گئی ہیں:

• خصوصی مساوات کے تمام عددی سر بندیت ہونا چاہئے۔

• خصوصی مساوات کے تمام عددی سر صفر نہ ہونا چاہئے۔

2)     دوسرا حصہ (نظام کی استحکام کے لیے کافی شرط): پہلے روتھ آرری بنائیں۔ روتھ آرری بنانے کے لیے درج ذیل قدمات کو ترتیب دیں:

پہلی قطار خصوصی مساوات کے تمام جفت عددی سر پر مشتمل ہوگی۔ انہیں پہلے (جفت عددی سر) سے آخر (جفت عددی سر) تک ترتیب دیں۔ پہلی قطار نیچے لکھی گئی ہے: a0 a2 a4 a6…………

دوسرا قطار خصوصی مساوات کے تمام طاق عددی سر پر مشتمل ہوگی۔ انہیں پہلے (طاق عددی سر) سے آخر (طاق عددی سر) تک ترتیب دیں۔ دوسرا قطار نیچے لکھی گئی ہے: a1 a3 a5 a7………..

تیسری قطار کے عناصر کو نیچے لکھے گئے طریقے سے حساب کیا جا سکتا ہے:

پہلا عنصر : a0 کو اگلے کالم کے قطری سے مخالف عنصر (یعنی a3) سے ضرب دیں، پھر اسے a1 اور a2 (جہاں a2 اگلے کالم کا قطری سے مخالف عنصر ہے) کے حاصل ضرب سے تفریق کریں، اور آخر کار حاصل شدہ نتیجہ کو a1 سے تقسیم کریں۔ ریاضیاتی طور پر ہم پہلا عنصر کو ایسے لکھتے ہیں

دوسرا عنصر : a0 کو اگلے کالم کے قطری سے مخالف عنصر (یعنی a5) سے ضرب دیں، پھر اسے a1 اور a4 (جہاں a4 اگلے کالم کا قطری سے مخالف عنصر ہے) کے حاصل ضرب سے تفریق کریں، اور آخر کار حاصل شدہ نتیجہ کو a1 سے تقسیم کریں۔ ریاضیاتی طور پر ہم دوسرا عنصر کو ایسے لکھتے ہیں

اسی طرح، ہم تیسری قطار کے تمام عناصر کا حساب کر سکتے ہیں۔

(د) چوتھی قطار کے عناصر کو نیچے لکھے گئے طریقے سے حساب کیا جا سکتا ہے:

پہلا عنصر : b1 کو اگلے کالم کے قطری سے مخالف عنصر (یعنی a3) سے ضرب دیں، پھر اسے a1 اور b2 (جہاں b2 اگلے کالم کا قطری سے مخالف عنصر ہے) کے حاصل ضرب سے تفریق کریں، اور آخر کار حاصل شدہ نتیجہ کو b1 سے تقسیم کریں۔ ریاضیاتی طور پر ہم پہلا عنصر کو ایسے لکھتے ہیں

 (2) دوسرا عنصر : b1 کو اگلے کالم کے قطری سے مخالف عنصر (یعنی a5) سے ضرب دیں، پھر اسے a1 اور b3 (جہاں b3 اگلے کالم کا قطری سے مخالف عنصر ہے) کے حاصل ضرب سے تفریق کریں، اور آخر کار حاصل شدہ نتیجہ کو a1 سے تقسیم کریں۔ ریاضیاتی طور پر ہم دوسرا عنصر کو ایسے لکھتے ہیں

اسی طرح، ہم چوتھی قطار کے تمام عناصر کا حساب کر سکتے ہیں۔

اسی طرح، ہم تمام قطاروں کے تمام عناصر کا حساب کر سکتے ہیں۔

استحکام کی معیار اگر پہلے کالم کے تمام عناصر مثبت ہوں تو نظام مستحکم ہوگا۔ مگر اگر ان میں سے کوئی منفی ہو تو نظام غیر مستحکم ہوگا۔

اب روتھ استحکام کی معیار کے متعلق کچھ خاص مسائل ہیں جو نیچے بیان کیے گئے ہیں:

کیس اون: اگر پہلے کالم میں صف کا پہلا عنصر صفر ہو جبکہ باقی صف کا کم از کم ایک غیر صفر عنصر ہو۔اس صورت میں ہم صفر کے مقام پر بہت چھوٹی قدر (ε) کا فرض کریں گے جو صفر کی طرف سے لگ بھگ صفر کی طرف گھٹ رہی ہے۔ صفر کو (ε) سے تبدیل کرتے ہوئے ہم روتھ آررے کے تمام عناصر کا حساب لگائیں گے۔

تمام عناصر کا حساب لگانے کے بعد ہم ہر (ε) والے عنصر پر حد لگائیں گے۔ ہر عنصر پر حد حل کرنے کے بعد اگر ہم مثبت حد ملتا ہے تو ہم کہیں گے کہ دی گئی سسٹم استحکامی ہے ورنہ تمام دیگر صورتحالوں میں ہم کہیں گے کہ دی گئی سسٹم استحکامی نہیں ہے۔

کیس دوسرا: جب روتھ آررے کے کسی صف کے تمام عناصر صفر ہوں۔ اس صورت میں ہم کہ سکتے ہیں کہ سسٹم کے دائرہ کار کے لکشان موجود ہیں۔ پہلے ہم کسی صف کے تمام عناصر کے صفر ہونے کے عملی معنی کو سمجھ لیں۔

عملی معنی یہ ہے کہ s پلین میں مشخصہ مساوات کے جڑیں متقارن طور پر واقع ہیں۔اب اس صورت میں استحکام کو معلوم کرنے کے لیے ہم پہلے معاون مساوات کو دریافت کریں گے۔ معاون مساوات کو روتھ آررے کے صفر کے اوپر والے صف کے عناصر کا استعمال کرتے ہوئے تشکیل دیا جا سکتا ہے۔ معاون مساوات کو دریافت کرنے کے بعد ہم اسے تفریق کریں گے تاکہ صفر صف کے عناصر کو حاصل کیا جا سکے۔

اگر معاون مساوات کا استعمال کرتے ہوئے بنائے گئے نئے روتھ آررے میں کوئی نشان تبدیلی نہ ہو تو ہم کہیں گے کہ دی گئی سسٹم محدود استحکامی ہے۔ جبکہ تمام دیگر صورتحالوں میں ہم کہیں گے کہ دی گئی سسٹم استحکامی نہیں ہے۔