Routh Hurwitz Stabilitási Kritérium

Routh Hurwitz stabilitási kritérium definíció

Ez egy módszer a rendszer stabilitásának meghatározására a karakterisztikus egyenlet segítségével.

Hurwitz kritérium

A karakterisztikus egyenlet segítségével több Hurwitz-determinánsot hozhatunk létre a rendszer stabilitásának meghatározásához. A rendszer karakterisztikus egyenlete a következőképpen van definiálva:

Egy n-edfokú karakterisztikus egyenlet esetén n determináns van.

Íme, hogyan írjuk le a determinánsokat a karakterisztikus egyenlet együtthatóiból. Kövesse ezeket a lépéseket egy k-adfokú karakterisztikus egyenlet esetén:

Első determináns: Ez a determináns értéke |a1|, ahol a1 a sn-1 együtthatója a karakterisztikus egyenletben.

Második determináns: Ez a determináns értéke

Itt minden sorban ugyanannyi elem van, mint a determináns száma, és itt a determináns száma kettő. Az első sor az első két páratlan együtthatót tartalmazza, a második sor pedig az első két páros együtthatót.

Harmadik determináns: Ez a determináns értéke

Itt minden sorban ugyanannyi elem van, mint a determináns száma, és itt a determináns száma három. Az első sor az első három páratlan együtthatót tartalmazza, a második sor pedig az első három páros együtthatót, a harmadik sor pedig az első elem nullát, a többi két elem pedig az első két páratlan együtthatót.

Negyedik determináns: Ez a determináns értéke,

Itt minden sorban ugyanannyi elem van, mint a determináns száma, és itt a determináns száma négy. Az első sor az első négy együtthatót tartalmazza, a második sor pedig az első négy páros együtthatót, a harmadik sor pedig az első elem nullát, a többi három elem pedig az első három páratlan együtthatót, a negyedik sor pedig az első elem nullát, a többi három elem pedig az első három páros együtthatót.

Azonos eljárás követésével általánosíthatjuk a determinánsok képzését. A determináns általános formája a következő:

A rendszer stabilitásának ellenőrzéséhez számolja ki minden determináns értékét. A rendszer stabil, ha minden determináns pozitív. Ha bármely determináns nem pozitív, a rendszer nem stabil.

Routh stabilitási kritérium

Ez a kritérium ismert a módosított Hurwitz stabilitási kritériumnak. Két részben fogjuk tanulmányozni. Az első rész a rendszer stabilitásának szükséges feltételét, a második rész pedig a rendszer stabilitásának elégséges feltételét foglalja magába. Tekintsük újra a rendszer karakterisztikus egyenletét

1)     Első rész (szükséges feltétel a rendszer stabilitásához): Itt két feltételünk van, amelyek a következők:

• A karakterisztikus egyenlet minden együtthatója pozitív és valós kell, hogy legyen.

• A karakterisztikus egyenlet minden együtthatója nem lehet nulla.

2)     Második rész (elégséges feltétel a rendszer stabilitásához): Hozzuk először létre a Routh-táblázatot. A Routh-táblázat készítéséhez kövesse ezeket a lépéseket:

Az első sorban a karakterisztikus egyenlet minden páros tagja lesz. Rendezze őket az első (páros tag) utolsó (páros tag) sorrendben. Az első sor a következőképpen írható: a0 a2 a4 a6…………

A második sorban a karakterisztikus egyenlet minden páratlan tagja lesz. Rendezze őket az első (páratlan tag) utolsó (páratlan tag) sorrendben. A második sor a következőképpen írható: a1 a3 a5 a7………..

A harmadik sor elemei a következőképpen számíthatók:

Első elem: Szorozza meg a0-t a következő oszlopban található átlagosan ellentétes elemmel (azaz a3), majd vonja ki ezt a1 és a2 (ahol a2 a következő oszlopban található átlagosan ellentétes elem) szorzatából, végül ossza el az eredményt a1-gyel. Matematikailag írjuk le az első elemet

Második elem: Szorozza meg a0-t a következő oszlopban található átlagosan ellentétes elemmel (azaz a5), majd vonja ki ezt a1 és a4 (ahol a4 a következő oszlopban található átlagosan ellentétes elem) szorzatából, végül ossza el az eredményt a1-gyel. Matematikailag írjuk le a második elemet

Hasonlóan, számíthatjuk ki a harmadik sor összes elemét.

(d) A negyedik sor elemei a következő eljárás használatával számíthatók:

Első elem: Szorozza meg b1-et a következő oszlopban található átlagosan ellentétes elemmel (azaz a3), majd vonja ki ezt a1 és b2 (ahol b2 a következő oszlopban található átlagosan ellentétes elem) szorzatából, végül ossza el az eredményt b1-gyel. Matematikailag írjuk le az első elemet

 (2) Második elem: Szorozza meg b1-et a következő oszlopban található átlagosan ellentétes elemmel (azaz a5), majd vonja ki ezt a1 és b3 (ahol b3 a következő oszlopban található átlagosan ellentétes elem) szorzatából, végül ossza el az eredményt a1-gyel. Matematikailag írjuk le a második elemet

Hasonlóan, számíthatjuk ki a negyedik sor összes elemét.

Hasonlóan, számíthatjuk ki az összes sor összes elemét.

Stabilitási kritérium, ha az első oszlop minden eleme pozitív, akkor a rendszer stabil. Ha bármelyike negatív, a rendszer instabil.

Most vannak néhány speciális eset a Routh stabilitási kritériummal kapcsolatban, amelyeket alább tárgyalunk:

Első eset: Ha a táblázat bármely sorának első eleme nulla, míg a sor többi eleme legalább egy nem nulla elem. Ebben az esetben feltételezzük egy nagyon kis értéket (ε), ami nulla felé tart. A nullát (ε)-nel helyettesítve számoljuk ki a Routh-táblázat összes elemét. 

Miután kiszámoltuk az összes elemet, alkalmazzuk a határozatot minden (ε)-t tartalmazó elemre. Ha minden elemenél pozitív határértéket kapunk, akkor azt mondjuk, hogy a rendszer stabil, egyébként minden más esetben azt mondjuk, hogy a rendszer nem stabil.

Második eset: Amikor a Routh-táblázat bármely sorának minden eleme nulla. Ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy a rendszernek a peremstabilitás jelei vannak. Először is értsük meg a fizikai jelentést, hogy miért vannak nullák a sorban. 

A fizikai jelentés, hogy a karakterisztikus egyenlet gyökei szimmetrikusan helyezkednek el az s-síkon.Ebben az esetben a stabilitás meghatározásához először készítsünk segéd-egyenletet. A segéd-egyenletet a nullákkal teli sor felett található sor elemeivel hozzuk létre. A segéd-egyenlet differenciálásával számíthatjuk ki a nullákkal teli sor elemeit. 

Ha nincs előjelfordulás az új Routh-táblázatban, amit a segéd-egyenlet segítségével készítettünk, akkor azt mondjuk, hogy a rendszer korlátozottan stabil. Minden más esetben azt mondjuk, hogy a rendszer instabil.