Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz

Critério de Estabilidade de Routh Hurwitz - Definição

É um método para determinar a estabilidade de um sistema usando a equação característica.

Critério de Hurwitz

Usando a equação característica, podemos criar vários determinantes de Hurwitz para determinar a estabilidade do sistema. A equação característica do sistema é definida da seguinte forma:

Existem n determinantes para uma equação característica de ordem n^th.

Aqui está como escrever determinantes a partir dos coeficientes da equação característica. Siga esses passos para uma equação característica de ordem k:

Determinante um : O valor deste determinante é dado por |a1| onde a1 é o coeficiente de sn-1 na equação característica.

Determinante dois : O valor deste determinante é dado por

Aqui, o número de elementos em cada linha é igual ao número do determinante e temos que o número do determinante aqui é dois. A primeira linha consiste nos dois primeiros coeficientes ímpares e a segunda linha consiste nos dois primeiros coeficientes pares.

Determinante três : O valor deste determinante é dado por

Aqui, o número de elementos em cada linha é igual ao número do determinante e temos que o número do determinante aqui é três. A primeira linha consiste nos três primeiros coeficientes ímpares, a segunda linha consiste nos três primeiros coeficientes pares e a terceira linha consiste no primeiro elemento como zero e os outros dois elementos como os dois primeiros coeficientes ímpares.

Determinante quatro: O valor deste determinante é dado por,

Aqui, o número de elementos em cada linha é igual ao número do determinante e temos que o número do determinante aqui é quatro. A primeira linha consiste nos quatro primeiros coeficientes, a segunda linha consiste nos quatro primeiros coeficientes pares, a terceira linha consiste no primeiro elemento como zero e os outros três elementos como os três primeiros coeficientes ímpares, a quarta linha consiste no primeiro elemento como zero e os outros três elementos como os três primeiros coeficientes pares.

Seguindo o mesmo procedimento, podemos generalizar a formação do determinante. A forma geral do determinante é dada abaixo:

Para verificar a estabilidade do sistema, calcule o valor de cada determinante. O sistema é estável se cada determinante for positivo. Se qualquer determinante não for positivo, o sistema não é estável.

Critério de Estabilidade de Routh

Este critério também é conhecido como Critério Modificado de Hurwitz para a estabilidade do sistema. Vamos estudar este critério em duas partes. A primeira parte cobrirá a condição necessária para a estabilidade do sistema e a segunda parte cobrirá a condição suficiente para a estabilidade do sistema. Considere novamente a equação característica do sistema como

1)     Parte um (condição necessária para a estabilidade do sistema): Nesta temos duas condições que são escritas abaixo:

• Todos os coeficientes da equação característica devem ser positivos e reais.

• Todos os coeficientes da equação característica devem ser não nulos.

2)     Parte dois (condição suficiente para a estabilidade do sistema): Vamos primeiro construir a matriz de Routh. Para construir a matriz de Routh, siga estes passos:

A primeira linha conterá todos os termos pares da equação característica. Organize-os do primeiro (termo par) ao último (termo par). A primeira linha é escrita abaixo: a0 a2 a4 a6…

A segunda linha conterá todos os termos ímpares da equação característica. Organize-os do primeiro (termo ímpar) ao último (termo ímpar). A segunda linha é escrita abaixo: a1 a3 a5 a7…

Os elementos da terceira linha podem ser calculados como:

Primeiro elemento : Multiplique a0 pelo elemento diagonalmente oposto da próxima coluna (ou seja, a3), então subtraia isso do produto de a1 e a2 (onde a2 é o elemento diagonalmente oposto da próxima coluna) e, finalmente, divida o resultado obtido por a1. Matematicamente, escrevemos o primeiro elemento como

Segundo elemento : Multiplique a0 pelo elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte (ou seja, a5), então subtraia isso do produto de a1 e a4 (onde a4 é o elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte) e, finalmente, divida o resultado obtido por a1. Matematicamente, escrevemos o segundo elemento como

De maneira semelhante, podemos calcular todos os elementos da terceira linha.

(d) Os elementos da quarta linha podem ser calculados usando o seguinte procedimento:

Primeiro elemento : Multiplique b1 pelo elemento diagonalmente oposto da próxima coluna (ou seja, a3), então subtraia isso do produto de a1 e b2 (onde b2 é o elemento diagonalmente oposto da próxima coluna) e, finalmente, divida o resultado obtido por b1. Matematicamente, escrevemos o primeiro elemento como

 (2) Segundo elemento : Multiplique b1 pelo elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte (ou seja, a5), então subtraia isso do produto de a1 e b3 (onde b3 é o elemento diagonalmente oposto da coluna seguinte) e, finalmente, divida o resultado obtido por a1. Matematicamente, escrevemos o segundo elemento como

De maneira semelhante, podemos calcular todos os elementos da quarta linha.

De maneira semelhante, podemos calcular todos os elementos de todas as linhas.

Critério de estabilidade: se todos os elementos da primeira coluna forem positivos, o sistema será estável. No entanto, se algum deles for negativo, o sistema será instável.

Agora, existem alguns casos especiais relacionados ao Critério de Estabilidade de Routh, que são discutidos abaixo:

Caso um: Se o primeiro termo em qualquer linha da matriz for zero, enquanto o restante da linha tiver pelo menos um termo não nulo. Neste caso, assumiremos um valor muito pequeno (ε) que tende a zero no lugar de zero. Substituindo zero por (ε), calcularemos todos os elementos da matriz de Routh. 

Após calcular todos os elementos, aplicaremos o limite em cada elemento contendo (ε). Resolvendo o limite em cada elemento, se obtermos um valor limitante positivo, diremos que o sistema dado é estável. Caso contrário, em todas as outras condições, diremos que o sistema dado não é estável.

Caso dois : Quando todos os elementos de qualquer linha da matriz de Routh forem zero. Neste caso, podemos dizer que o sistema tem sintomas de estabilidade marginal. Primeiro, vamos entender o significado físico de ter todos os elementos zero de qualquer linha. 

O significado físico é que há raízes simetricamente localizadas da equação característica no plano s. Agora, para descobrir a estabilidade neste caso, primeiro encontraremos a equação auxiliar. A equação auxiliar pode ser formada usando os elementos da linha imediatamente acima da linha de zeros na matriz de Routh. Após encontrar a equação auxiliar, diferenciaremos a equação auxiliar para obter os elementos da linha de zeros. 

Se não houver mudança de sinal na nova matriz de Routh formada usando a equação auxiliar, nesse caso, diremos que o sistema dado é estável com limitações. Em todos os outros casos, diremos que o sistema dado é instável.