Routh Hurwitz Stabilecokriterio

Difino de la Kriterio de Stabileco de Routh-Hurwitz

Ĝi estas metodo por determini la stabilecon de sistemo uzante la karakterizan ekvacion.

Kriterio de Hurwitz

Uzante la karakterizan ekvacion, ni povas krei plurajn determinantojn de Hurwitz por determini la stabilecon de la sistemo. La karakteriza ekvacio de la sistemo estas difinita jene:

Estas n determinantoj por n-a orda karakteriza ekvacio.

Jen kiel skribi determinantojn el la koeficientoj de la karakteriza ekvacio. Sekvu ĉi tiujn paŝojn por k-a orda karakteriza ekvacio:

Determinanto unu : La valoro de ĉi tiu determinanto estas donita per |a1| kie a1 estas la koeficiento de sn-1 en la karakteriza ekvacio.

Determinanto du : La valoro de ĉi tiu determinanto estas donita per

Ĉi tie la nombro de elementoj en ĉiu vico egalas al la nombro de determinanto kaj ni havas determinanton nombro du. La unua vico konsistas el la unuaj du malparaj koeficientoj kaj la dua vico konsistas el la unuaj du paraj koeficientoj.

Determinanto tri : La valoro de ĉi tiu determinanto estas donita per

Ĉi tie la nombro de elementoj en ĉiu vico egalas al la nombro de determinanto kaj ni havas determinanton nombro tri. La unua vico konsistas el la unuaj tri malparaj koeficientoj, la dua vico konsistas el la unuaj tri paraj koeficientoj kaj la tria vico konsistas el la unua elemento kiel nul kaj la restaj du elementoj kiel la unuaj du malparaj koeficientoj.

Determinanto kvar: La valoro de ĉi tiu determinanto estas donita per,

Ĉi tie la nombro de elementoj en ĉiu vico egalas al la nombro de determinanto kaj ni havas determinanton nombro kvar. La unua vico konsistas el la unuaj kvar koeficientoj, la dua vico konsistas el la unuaj kvar paraj koeficientoj, la tria vico konsistas el la unua elemento kiel nul kaj la restaj tri elementoj kiel la unuaj tri malparaj koeficientoj, la kvara vico konsistas el la unua elemento kiel nul kaj la restaj tri elementoj kiel la unuaj tri paraj koeficientoj.

Sekvante la saman proceduron ni povas generaligi la formon de determinanto. La ĝenerala formo de determinanto estas donita sube:

Por kontroli la stabilecon de la sistemo, kalkulu la valoron de ĉiu determinanto. La sistemo estas stabila se ĉiu determinanto estas pozitiva. Se iu ajn determinanto ne estas pozitiva, la sistemo ne estas stabila.

Kriterio de Stabileco de Routh

Ĉi tiu kriterio ankaŭ estas konata kiel modifita Kriterio de Hurwitz pri la stabileco de la sistemo. Ni studos ĉi tiun kriterion en du partoj. Parto unu traktos la necesan kondiĉon por la stabileco de la sistemo kaj parto du traktos la sufiĉan kondiĉon por la stabileco de la sistemo. Denove konsideru la karakterizan ekvacion de la sistemo kiel

1)     Parto unu (necesa kondiĉo por la stabileco de la sistemo): Ĉi tie ni havas du kondiĉojn, kiuj estas skribitaj sube:

• Ĉiuj koeficientoj de la karakteriza ekvacio devus esti pozitivaj kaj reelaj.

• Ĉiuj koeficientoj de la karakteriza ekvacio devus esti nenulaj.

2)     Parto du (sufiĉa kondiĉo por la stabileco de la sistemo): Unue konstruu la tabelon de Routh. Por konstrui la tabelon de Routh sekvu ĉi tiujn paŝojn:

La unua vico estos konsisti el ĉiuj paraj terminoj de la karakteriza ekvacio. Aranĝu ilin de la unua (para termino) ĝis la lasta (para termino). La unua vico estas skribita sube: a0 a2 a4 a6…………

La dua vico estos konsisti el ĉiuj malparaj terminoj de la karakteriza ekvacio. Aranĝu ilin de la unua (malpara termino) ĝis la lasta (malpara termino). La unua vico estas skribita sube: a1 a3 a5 a7………..

La elementoj de la tria vico povas esti kalkulitaj jene:

Unua elemento : Multipliku a0 kun diagonale kontraŭa elemento de la sekva kolono (t.e. a3), tiam subtrahu ĉi tion de la produto de a1 kaj a2 (kie a2 estas diagonale kontraŭa elemento de la sekva kolono) kaj tiam fine dividu la rezulton tiel obtenitan per a1. Matematike ni skribas kiel unua elemento

Dua elemento : Multipliku a0 kun diagonale kontraŭa elemento de la postsekva kolono (t.e. a5), tiam subtrahu ĉi tion de la produto de a1 kaj a4 (kie a4 estas diagonale kontraŭa elemento de la postsekva kolono) kaj tiam fine dividu la rezulton tiel obtenitan per a1. Matematike ni skribas kiel dua elemento

Simile, ni povas kalkuli ĉiujn elementojn de la tria vico.

(d) La elementoj de la kvara vico povas esti kalkulitaj per la jena proceduro:

Unua elemento : Multipliku b1 kun diagonale kontraŭa elemento de la sekva kolono (t.e. a3), tiam subtrahu ĉi tion de la produto de a1 kaj b2 (kie b2 estas diagonale kontraŭa elemento de la sekva kolono) kaj tiam fine dividu la rezulton tiel obtenitan per b1. Matematike ni skribas kiel unua elemento

 (2) Dua elemento : Multipliku b1 kun diagonale kontraŭa elemento de la postsekva kolono (t.e. a5), tiam subtrahu ĉi tion de la produto de a1 kaj b3 (kie b3 estas diagonale kontraŭa elemento de la postsekva kolono) kaj tiam fine dividu la rezulton tiel obtenitan per a1. Matematike ni skribas kiel dua elemento

Simile, ni povas kalkuli ĉiujn elementojn de la kvara vico.

Simile, ni povas kalkuli ĉiujn elementojn de ĉiuj vicoj.

Kriterio de stabileco: se ĉiuj elementoj de la unua kolono estas pozitivaj, tiam la sistemo estos stabila. Tamen, se iu ajn el ili estas negativa, la sistemo estos nestabila.

Nun estas kelkaj specialaj okazoj rilatantaj al la Kriterio de Stabileco de Routh, kiuj estas diskutitaj sube:

Okazo unu: Se la unua termino en iu ajn vico de la tabelo estas nul, dum la resto de la vico havas almenaŭ unu nenulan terminon.En ĉi tiu okazo ni supozos tre malgrandan valoron (ε) kiu tendencas al nul anstataŭ nul. Per anstataŭigo de nul per (ε) ni kalkulos ĉiujn elementojn de la tabelo de Routh. 

Post kalkulado de ĉiuj elementoj ni aplikos la limon ĉe ĉiu elemento enhavanta (ε). Solvante la limon ĉe ĉiu elemento, se ni ricevos pozitivan limvaloron, tiam ni diros ke la donita sistemo estas stabila, alie en ĉiuj aliaj kondiĉoj ni diros ke la donita sistemo ne estas stabila.

Okazo dua : Kiam ĉiuj elementoj de iu ajn vico de la tabelo de Routh estas nul. En ĉi tiu okazo ni povas diri ke la sistemo havas simptomojn de marginala stabileco. Unue komprenu la fizikan signifon de havi ĉiujn elementojn nul de iu ajn vico. 

La fizika signifo estas ke estas simetrie lokitaj radikoj de la karakteriza ekvacio en la s-ebeno.Nun por trovi la stabilecon en ĉi tiu okazo ni unue trovos la helpan ekvacion. Helpa ekvacio povas esti formita per la elementoj de la vico ĵus super la vico de nuloj en la tabelo de Routh. Post trovado de la helpa ekvacio ni diferencialos la helpan ekvacion por akiri elementojn de la vico de nuloj. 

Se ne estas ŝanĝo de signo en la nova tabelo de Routh formita per uzo de la helpa ekvacio, tiam ni diras ke la donita sistemo estas limigita stabila. En ĉiuj aliaj okazoj ni diros ke la donita sistemo estas nestabila.