Kriteria Stabilitas Routh Hurwitz

Definisi Kriteria Stabilitas Routh Hurwitz

Ini adalah metode untuk menentukan stabilitas sistem menggunakan persamaan karakteristik.

Kriteria Hurwitz

Menggunakan persamaan karakteristik, kita dapat membuat beberapa determinan Hurwitz untuk menentukan stabilitas sistem. Persamaan karakteristik sistem didefinisikan sebagai berikut:

Ada n determinan untuk persamaan karakteristik orde n^th.

Berikut cara menulis determinan dari koefisien persamaan karakteristik. Ikuti langkah-langkah ini untuk persamaan karakteristik orde k:

Determinan satu : Nilai determinan ini diberikan oleh |a1| di mana a1 adalah koefisien sn-1 dalam persamaan karakteristik.

Determinan dua : Nilai determinan ini diberikan oleh

Di sini jumlah elemen dalam setiap baris sama dengan nomor determinan dan kami memiliki nomor determinan di sini adalah dua. Baris pertama terdiri dari dua koefisien ganjil pertama dan baris kedua terdiri dari dua koefisien genap pertama.

Determinan tiga : Nilai determinan ini diberikan oleh

Di sini jumlah elemen dalam setiap baris sama dengan nomor determinan dan kami memiliki nomor determinan di sini adalah tiga. Baris pertama terdiri dari tiga koefisien ganjil pertama, baris kedua terdiri dari tiga koefisien genap pertama, dan baris ketiga terdiri dari elemen pertama sebagai nol dan dua elemen sisanya sebagai dua koefisien ganjil pertama.

Determinan empat: Nilai determinan ini diberikan oleh,

Di sini jumlah elemen dalam setiap baris sama dengan nomor determinan dan kami memiliki nomor determinan di sini adalah empat. Baris pertama terdiri dari empat koefisien pertama, baris kedua terdiri dari empat koefisien genap pertama, baris ketiga terdiri dari elemen pertama sebagai nol dan tiga elemen sisanya sebagai tiga koefisien ganjil pertama, dan baris keempat terdiri dari elemen pertama sebagai nol dan tiga elemen sisanya sebagai tiga koefisien genap pertama.

Dengan mengikuti prosedur yang sama, kita dapat menggeneralisasi pembentukan determinan. Bentuk umum determinan diberikan di bawah ini:

Untuk memeriksa stabilitas sistem, hitung nilai setiap determinan. Sistem stabil jika setiap determinan positif. Jika ada determinan yang tidak positif, sistem tidak stabil.

Kriteria Stabilitas Routh

Kriteria ini juga dikenal sebagai Kriteria Hurwitz yang Dimodifikasi untuk stabilitas sistem. Kami akan mempelajari kriteria ini dalam dua bagian. Bagian pertama akan mencakup syarat perlu untuk stabilitas sistem dan bagian kedua akan mencakup syarat cukup untuk stabilitas sistem. Mari kita pertimbangkan kembali persamaan karakteristik sistem sebagai

1)     Bagian pertama (syarat perlu untuk stabilitas sistem): Di sini kita memiliki dua syarat yang ditulis di bawah ini:

• Semua koefisien persamaan karakteristik harus positif dan nyata.

• Semua koefisien persamaan karakteristik harus bukan nol.

2)     Bagian kedua (syarat cukup untuk stabilitas sistem): Mari kita pertama-tama membentuk array Routh. Untuk membentuk array Routh, ikuti langkah-langkah berikut:

Baris pertama akan terdiri dari semua istilah genap dari persamaan karakteristik. Susun mereka dari yang pertama (istilah genap) hingga yang terakhir (istilah genap). Baris pertama ditulis di bawah: a0 a2 a4 a6…………

Baris kedua akan terdiri dari semua istilah ganjil dari persamaan karakteristik. Susun mereka dari yang pertama (istilah ganjil) hingga yang terakhir (istilah ganjil). Baris pertama ditulis di bawah: a1 a3 a5 a7………..

Elemen-elemen baris ketiga dapat dihitung sebagai:

Elemen pertama : Kalikan a0 dengan elemen diagonal berlawanan pada kolom berikutnya (yaitu a3) kemudian kurangi ini dari hasil perkalian a1 dan a2 (di mana a2 adalah elemen diagonal berlawanan pada kolom berikutnya) dan akhirnya bagi hasil yang diperoleh dengan a1. Secara matematis kita tulis sebagai elemen pertama

Elemen kedua : Kalikan a0 dengan elemen diagonal berlawanan pada kolom berikutnya (yaitu a5) kemudian kurangi ini dari hasil perkalian a1 dan a4 (di mana a4 adalah elemen diagonal berlawanan pada kolom berikutnya) dan akhirnya bagi hasil yang diperoleh dengan a1. Secara matematis kita tulis sebagai elemen kedua

Demikian pula, kita dapat menghitung semua elemen baris ketiga.

(d) Elemen-elemen baris keempat dapat dihitung dengan menggunakan prosedur berikut:

Elemen pertama : Kalikan b1 dengan elemen diagonal berlawanan pada kolom berikutnya (yaitu a3) kemudian kurangi ini dari hasil perkalian a1 dan b2 (di mana b2 adalah elemen diagonal berlawanan pada kolom berikutnya) dan akhirnya bagi hasil yang diperoleh dengan b1. Secara matematis kita tulis sebagai elemen pertama

 (2) Elemen kedua : Kalikan b1 dengan elemen diagonal berlawanan pada kolom berikutnya (yaitu a5) kemudian kurangi ini dari hasil perkalian a1 dan b3 (di mana b3 adalah elemen diagonal berlawanan pada kolom berikutnya) dan akhirnya bagi hasil yang diperoleh dengan a1. Secara matematis kita tulis sebagai elemen kedua

Demikian pula, kita dapat menghitung semua elemen baris keempat.

Demikian pula, kita dapat menghitung semua elemen semua baris.

Kriteria stabilitas jika semua elemen kolom pertama positif maka sistem akan stabil. Namun, jika salah satunya negatif, sistem akan tidak stabil.

Sekarang ada beberapa kasus khusus yang berkaitan dengan Kriteria Stabilitas Routh yang dibahas di bawah ini:

Kasus satu: Jika istilah pertama dalam baris tertentu dari array adalah nol sementara sisa baris memiliki setidaknya satu istilah non-nol.Dalam kasus ini, kita akan mengasumsikan nilai yang sangat kecil (ε) yang mendekati nol untuk menggantikan nol. Dengan mengganti nol dengan (ε), kita akan menghitung semua elemen array Routh. 

Setelah menghitung semua elemen, kita akan menerapkan batas pada setiap elemen yang mengandung (ε). Dengan menyelesaikan batas pada setiap elemen, jika kita mendapatkan nilai batas positif, maka kita akan mengatakan sistem yang diberikan stabil, sebaliknya, dalam semua kondisi lain, kita akan mengatakan sistem yang diberikan tidak stabil.

Kasus kedua : Ketika semua elemen dari baris tertentu dari array Routh adalah nol. Dalam kasus ini, kita dapat mengatakan sistem memiliki gejala stabilitas marginal. Mari kita pertama-tama memahami makna fisik dari memiliki semua elemen nol dari baris tertentu. 

Makna fisiknya adalah bahwa ada akar-akar simetris dari persamaan karakteristik di bidang s.Sekarang, untuk mengetahui stabilitas dalam kasus ini, kita akan pertama-tama menemukan persamaan bantu. Persamaan bantu dapat dibentuk dengan menggunakan elemen-elemen baris tepat di atas baris nol dalam array Routh. Setelah menemukan persamaan bantu, kita akan mendiferensiasikan persamaan bantu untuk mendapatkan elemen-elemen baris nol. 

Jika tidak ada perubahan tanda dalam array Routh baru yang dibentuk dengan menggunakan persamaan bantu, maka dalam hal ini kita mengatakan sistem yang diberikan stabil terbatas. Sedangkan dalam semua kasus lain, kita akan mengatakan sistem yang diberikan tidak stabil.