เกณฑ์เสถียรภาพของรูธ-ฮูร์วิท

บทนิยามเกณฑ์ความมั่นคงของ Routh Hurwitz

เป็นวิธีในการกำหนดความมั่นคงของระบบโดยใช้สมการคุณลักษณะ

เกณฑ์ของ Hurwitz

โดยใช้สมการคุณลักษณะ เราสามารถสร้างตัวกำหนดหลายตัวของ Hurwitz เพื่อกำหนดความมั่นคงของระบบ สมการคุณลักษณะของระบบถูกกำหนดไว้ดังนี้:

มีตัวกำหนด n ตัวสำหรับสมการคุณลักษณะลำดับที่ n^th

นี่คือวิธีการเขียนตัวกำหนดจากสัมประสิทธิ์ของสมการคุณลักษณะ ทำตามขั้นตอนเหล่านี้สำหรับสมการคุณลักษณะลำดับที่ k^th:

ตัวกำหนดที่หนึ่ง : ค่าของตัวกำหนดนี้คือ |a1| โดยที่ a1 เป็นสัมประสิทธิ์ของ sn-1 ในสมการคุณลักษณะ

ตัวกำหนดที่สอง : ค่าของตัวกำหนดนี้คือ

ที่นี่จำนวนสมาชิกในแต่ละแถวเท่ากับหมายเลขตัวกำหนดและเรามีหมายเลขตัวกำหนดที่นี่คือสอง แถวแรกประกอบด้วยสัมประสิทธิ์คี่สองตัวแรกและแถวที่สองประกอบด้วยสัมประสิทธิ์คู่สองตัวแรก

ตัวกำหนดที่สาม : ค่าของตัวกำหนดนี้คือ

ที่นี่จำนวนสมาชิกในแต่ละแถวเท่ากับหมายเลขตัวกำหนดและเรามีหมายเลขตัวกำหนดที่นี่คือสาม แถวแรกประกอบด้วยสัมประสิทธิ์คี่สามตัวแรก แถวที่สองประกอบด้วยสัมประสิทธิ์คู่สามตัวแรก และแถวที่สามประกอบด้วยสมาชิกตัวแรกเป็นศูนย์และสมาชิกอีกสองตัวเป็นสัมประสิทธิ์คี่สองตัวแรก

ตัวกำหนดที่สี่: ค่าของตัวกำหนดนี้คือ

ที่นี่จำนวนสมาชิกในแต่ละแถวเท่ากับหมายเลขตัวกำหนดและเรามีหมายเลขตัวกำหนดที่นี่คือสี่ แถวแรกประกอบด้วยสัมประสิทธิ์สี่ตัวแรก แถวที่สองประกอบด้วยสัมประสิทธิ์คู่สี่ตัวแรก แถวที่สามประกอบด้วยสมาชิกตัวแรกเป็นศูนย์และสมาชิกอีกสามตัวเป็นสัมประสิทธิ์คี่สามตัวแรก และแถวที่สี่ประกอบด้วยสมาชิกตัวแรกเป็นศูนย์และสมาชิกอีกสามตัวเป็นสัมประสิทธิ์คู่สามตัวแรก

โดยการทำตามขั้นตอนเดียวกัน เราสามารถสรุปรูปแบบตัวกำหนดได้ รูปแบบทั่วไปของตัวกำหนดแสดงด้านล่าง:

เพื่อตรวจสอบความมั่นคงของระบบ คำนวณค่าของตัวกำหนดแต่ละตัว ระบบจะมั่นคงหากตัวกำหนดแต่ละตัวเป็นบวก หากตัวกำหนดใดไม่เป็นบวก ระบบจะไม่มั่นคง

เกณฑ์ความมั่นคงของ Routh

เกณฑ์นี้ยังเรียกว่าเกณฑ์ Hurwitz ที่ปรับปรุงแล้วของการมั่นคงของระบบ เราจะศึกษาเกณฑ์นี้ในสองส่วน ส่วนที่หนึ่งจะครอบคลุมเงื่อนไขจำเป็นสำหรับความมั่นคงของระบบ และส่วนที่สองจะครอบคลุมเงื่อนไขเพียงพอสำหรับความมั่นคงของระบบ ให้เราพิจารณาสมการคุณลักษณะของระบบอีกครั้งว่า

1)     ส่วนที่หนึ่ง (เงื่อนไขจำเป็นสำหรับความมั่นคงของระบบ): ในส่วนนี้เรามีเงื่อนไขสองข้อที่ระบุไว้ด้านล่าง:

• สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะควรเป็นบวกและจริง

• สัมประสิทธิ์ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะควรมิใช่ศูนย์

2)     ส่วนที่สอง (เงื่อนไขเพียงพอสำหรับความมั่นคงของระบบ): ให้เราสร้างตาราง Routh ก่อน ในการสร้างตาราง Routh ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

แถวแรกจะประกอบด้วยเทอมคู่ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ เรียงจากเทอมคู่แรกถึงเทอมคู่สุดท้าย แถวแรกเขียนดังนี้: a0 a2 a4 a6…………

แถวที่สองจะประกอบด้วยเทอมคี่ทั้งหมดของสมการคุณลักษณะ เรียงจากเทอมคี่แรกถึงเทอมคี่สุดท้าย แถวที่สองเขียนดังนี้: a1 a3 a5 a7………..

สมาชิกของแถวที่สามสามารถคำนวณได้ดังนี้:

สมาชิกตัวแรก : คูณ a0 กับสมาชิกที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไป (เช่น a3) แล้วลบผลคูณนี้ออกจากผลคูณของ a1 และ a2 (โดยที่ a2 คือสมาชิกที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไป) และในที่สุดหารผลลัพธ์ที่ได้ด้วย a1 ทางคณิตศาสตร์เราเขียนเป็นสมาชิกตัวแรก

สมาชิกตัวที่สอง : คูณ a0 กับสมาชิกที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไปอีก (เช่น a5) แล้วลบผลคูณนี้ออกจากผลคูณของ a1 และ a4 (โดยที่ a4 คือสมาชิกที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไปอีก) และในที่สุดหารผลลัพธ์ที่ได้ด้วย a1 ทางคณิตศาสตร์เราเขียนเป็นสมาชิกตัวที่สอง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถคำนวณสมาชิกทั้งหมดของแถวที่สาม

(d) สมาชิกของแถวที่สี่สามารถคำนวณได้โดยใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

สมาชิกตัวแรก : คูณ b1 กับสมาชิกที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไป (เช่น a3) แล้วลบผลคูณนี้ออกจากผลคูณของ a1 และ b2 (โดยที่ b2 คือสมาชิกที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไป) และในที่สุดหารผลลัพธ์ที่ได้ด้วย b1 ทางคณิตศาสตร์เราเขียนเป็นสมาชิกตัวแรก

 (2) สมาชิกตัวที่สอง : คูณ b1 กับสมาชิกที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไปอีก (เช่น a5) แล้วลบผลคูณนี้ออกจากผลคูณของ a1 และ b3 (โดยที่ b3 คือสมาชิกที่อยู่ตรงข้ามในคอลัมน์ถัดไปอีก) และในที่สุดหารผลลัพธ์ที่ได้ด้วย a1 ทางคณิตศาสตร์เราเขียนเป็นสมาชิกตัวที่สอง

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถคำนวณสมาชิกทั้งหมดของแถวที่สี่

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถคำนวณสมาชิกทั้งหมดของแถวทั้งหมด

เกณฑ์ความมั่นคง ถ้าสมาชิกทั้งหมดของคอลัมน์แรกเป็นบวก ระบบจะมั่นคง แต่ถ้าสมาชิกใดเป็นลบ ระบบจะไม่มั่นคง

ขณะนี้มีกรณีพิเศษบางประการที่เกี่ยวข้องกับเกณฑ์ความมั่นคงของ Routh ซึ่งกล่าวถึงดังนี้:

กรณีที่หนึ่ง: ถ้าสมาชิกตัวแรกในแถวใดๆ ของตารางเป็นศูนย์ ในขณะที่สมาชิกอื่นๆ ในแถวเดียวกันมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ในกรณีนี้เราจะสมมติค่าเล็กๆ (ε) ที่ใกล้ศูนย์แทนศูนย์ หลังจากแทนศูนย์ด้วย (ε) เราจะคำนวณสมาชิกทั้งหมดของตาราง Routh 

หลังจากคำนวณสมาชิกทั้งหมด เราจะหาลิมิตที่สมาชิกทุกตัวที่มี (ε) ในการแก้ลิมิตที่สมาชิกแต่ละตัว ถ้าได้ค่าลิมิตเป็นบวก เราจะบอกว่าระบบมั่นคง แต่ในกรณีอื่นๆ เราจะบอกว่าระบบไม่มั่นคง

กรณีที่สอง : เมื่อสมาชิกทั้งหมดของแถวใดๆ ในตาราง Routh เป็นศูนย์ ในกรณีนี้เราสามารถบอกได้ว่าระบบมีอาการของความมั่นคงขอบเขต ให้เราทำความเข้าใจความหมายทางกายภาพของมีสมาชิกทั้งหมดเป็นศูนย์ของแถวใดๆ

ความหมายทางกายภาพคือ มีรากที่อยู่สมมาตรในระนาบ s ของสมการคุณลักษณะเพื่อหาความมั่นคงในกรณีนี้ เราจะหาสมการช่วยก่อน สมการช่วยสามารถสร้างได้โดยใช้สมาชิกของแถวที่อยู่เหนือแถวของศูนย์ในตาราง Routh หลังจากหาสมการช่วย เราจะทำการหาอนุพันธ์ของสมการช่วยเพื่อหาสมาชิกของแถวของศูนย์

หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายในตาราง Routh ใหม่ที่สร้างโดยใช้สมการช่วย ในกรณีนี้เราจะบอกว่าระบบมั่นคงขอบเขต แต่ในกรณีอื่นๆ เราจะบอกว่าระบบไม่มั่นคง