Criterio di stabilità di Routh-Hurwitz

Criterio di Stabilità di Routh-Hurwitz: Definizione

È un metodo per determinare la stabilità di un sistema utilizzando l'equazione caratteristica.

Criterio di Hurwitz

Utilizzando l'equazione caratteristica, possiamo creare diversi determinanti di Hurwitz per determinare la stabilità del sistema. L'equazione caratteristica del sistema è definita come segue:

Ci sono n determinanti per un'equazione caratteristica di ordine n^th.

Ecco come scrivere i determinanti dai coefficienti dell'equazione caratteristica. Seguire questi passaggi per un'equazione caratteristica di ordine k:

Determinante uno : Il valore di questo determinante è dato da |a1| dove a1 è il coefficiente di sn-1 nell'equazione caratteristica.

Determinante due : Il valore di questo determinante è dato da

Il numero di elementi in ogni riga è uguale al numero del determinante e qui abbiamo il determinante numero due. La prima riga consiste nei primi due coefficienti dispari e la seconda riga consiste nei primi due coefficienti pari.

Determinante tre : Il valore di questo determinante è dato da

Il numero di elementi in ogni riga è uguale al numero del determinante e qui abbiamo il determinante numero tre. La prima riga consiste nei primi tre coefficienti dispari, la seconda riga consiste nei primi tre coefficienti pari e la terza riga consiste nel primo elemento come zero e gli altri due elementi come i primi due coefficienti dispari.

Determinante quattro: Il valore di questo determinante è dato da,

Il numero di elementi in ogni riga è uguale al numero del determinante e qui abbiamo il determinante numero quattro. La prima riga consiste nei primi quattro coefficienti, la seconda riga consiste nei primi quattro coefficienti pari, la terza riga consiste nel primo elemento come zero e gli altri tre elementi come i primi tre coefficienti dispari, la quarta riga consiste nel primo elemento come zero e gli altri tre elementi come i primi tre coefficienti pari.

Seguendo la stessa procedura, possiamo generalizzare la formazione del determinante. La forma generale del determinante è data di seguito:

Per verificare la stabilità del sistema, calcolare il valore di ciascun determinante. Il sistema è stabile se ciascun determinante è positivo. Se qualunque determinante non è positivo, il sistema non è stabile.

Criterio di Stabilità di Routh

Questo criterio è anche noto come Criterio di Hurwitz modificato per la stabilità del sistema. Studieremo questo criterio in due parti. La prima parte coprirà la condizione necessaria per la stabilità del sistema e la seconda parte coprirà la condizione sufficiente per la stabilità del sistema. Consideriamo nuovamente l'equazione caratteristica del sistema come

1)     Parte uno (condizione necessaria per la stabilità del sistema): In questa abbiamo due condizioni che sono scritte di seguito:

• Tutti i coefficienti dell'equazione caratteristica devono essere positivi e reali.

• Tutti i coefficienti dell'equazione caratteristica devono essere non nulli.

2)     Parte due (condizione sufficiente per la stabilità del sistema): Costruiamo prima la tabella di Routh. Per costruire la tabella di Routh, seguire questi passaggi:

La prima riga conterrà tutti i termini pari dell'equazione caratteristica. Disporli dal primo (termine pari) all'ultimo (termine pari). La prima riga è scritta di seguito: a0 a2 a4 a6…………

La seconda riga conterrà tutti i termini dispari dell'equazione caratteristica. Disporli dal primo (termine dispari) all'ultimo (termine dispari). La seconda riga è scritta di seguito: a1 a3 a5 a7………..

Gli elementi della terza riga possono essere calcolati come segue:

Primo elemento : Moltiplicare a0 con l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva (cioè a3), quindi sottrarre questo dal prodotto di a1 e a2 (dove a2 è l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva) e infine dividere il risultato ottenuto con a1. Matematicamente scriviamo il primo elemento come

Secondo elemento : Moltiplicare a0 con l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva (cioè a5), quindi sottrarre questo dal prodotto di a1 e a4 (dove a4 è l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva) e infine dividere il risultato ottenuto con a1. Matematicamente scriviamo il secondo elemento come

Analogamente, possiamo calcolare tutti gli elementi della terza riga.

(d) Gli elementi della quarta riga possono essere calcolati utilizzando la seguente procedura:

Primo elemento : Moltiplicare b1 con l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva (cioè a3), quindi sottrarre questo dal prodotto di a1 e b2 (dove b2 è l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva) e infine dividere il risultato ottenuto con b1. Matematicamente scriviamo il primo elemento come

 (2) Secondo elemento : Moltiplicare b1 con l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva (cioè a5), quindi sottrarre questo dal prodotto di a1 e b3 (dove b3 è l'elemento diagonalmente opposto nella colonna successiva) e infine dividere il risultato ottenuto con a1. Matematicamente scriviamo il secondo elemento come

Analogamente, possiamo calcolare tutti gli elementi della quarta riga.

Analogamente, possiamo calcolare tutti gli elementi di tutte le righe.

Criteri di stabilità: se tutti gli elementi della prima colonna sono positivi, allora il sistema sarà stabile. Tuttavia, se uno di essi è negativo, il sistema sarà instabile.

Ora ci sono alcuni casi speciali relativi ai Criteri di Stabilità di Routh che sono discussi di seguito:

Caso uno: Se il primo termine in qualsiasi riga della tabella è zero mentre il resto della riga ha almeno un termine non nullo. In questo caso, assumeremo un valore molto piccolo (ε) che tende a zero al posto dello zero. Sostituendo lo zero con (ε), calcoleremo tutti gli elementi della tabella di Routh. 

Dopo aver calcolato tutti gli elementi, applicheremo il limite a ciascun elemento contenente (ε). Risolvendo il limite su ogni elemento, se otteniamo un valore limite positivo, diremo che il sistema dato è stabile, altrimenti, in tutte le altre condizioni, diremo che il sistema dato non è stabile.

Caso due : Quando tutti gli elementi di qualsiasi riga della tabella di Routh sono zero. In questo caso, possiamo dire che il sistema presenta sintomi di stabilità marginale. Comprendiamo prima il significato fisico di avere tutti gli elementi zero di una riga. 

Il significato fisico è che ci sono radici simmetricamente posizionate dell'equazione caratteristica nel piano s. Ora, per determinare la stabilità in questo caso, troveremo prima l'equazione ausiliaria. L'equazione ausiliaria può essere formata utilizzando gli elementi della riga immediatamente sopra la riga di zeri nella tabella di Routh. Dopo aver trovato l'equazione ausiliaria, la differenzieremo per ottenere gli elementi della riga di zeri. 

Se non c'è alcun cambiamento di segno nella nuova tabella di Routh formata utilizzando l'equazione ausiliaria, in questo caso diremo che il sistema dato è stabile limitatamente. In tutti gli altri casi, diremo che il sistema dato è instabile.