Routh Hurwitz Estabilitate Kriterioa

Routh Hurwitz estabilitatearen kriterioaren definizioa

Hona hemen sistema baten estabilitatea ezaugarri ekuazioa erabiliz zehazteko metodo bat.

Hurwitz Kriterioa

Ezaugarri ekuazioa erabiliz, sistema baten estabilitatea zehazteko zenbait Hurwitz determinante sortu ditzakegu. Sistema honen ezaugarri ekuazioa hurrengo bezala definitzen da:

n ordenako ezaugarri ekuazio baterako n determinante daude.

Hona hemen ezaugarri ekuazioaren koefizienteetatik determinanteak idatzeko modua. k ordenako ezaugarri ekuazio baterako jarraitu hurrengo pausuak:

Determinante lehena : Determinante honen balioa |a1| da, non a1 sn-1-ren koefizientea den ezaugarri ekuazioan.

Determinante bigarrena : Determinante honen balioa hurrengo bezala ematen da

Hemen lerro bakoitzeko elementu kopurua determinantearen zenbakia da eta determinante zenbakia bi da. Lehen lerroak lehen bi koefiziente bakoiti ditu eta bigarren lerroak lehen bi koefiziente bikoiti ditu.

Determinante hirugarrena : Determinante honen balioa hurrengo bezala ematen da

Hemen lerro bakoitzeko elementu kopurua determinantearen zenbakia da eta determinante zenbakia hiru da. Lehen lerroak lehen hiru koefiziente bakoiti ditu, bigarren lerroak lehen hiru koefiziente bikoiti ditu eta hirugarren lerroak lehen elementua zero da eta beste bi elementuak lehen bi koefiziente bakoiti dira.

Determinante laugarrena: Determinante honen balioa hurrengo bezala ematen da,

Hemen lerro bakoitzeko elementu kopurua determinantearen zenbakia da eta determinante zenbakia lau da. Lehen lerroak lehen lau koefiziente ditu, bigarren lerroak lehen lau koefiziente bikoiti ditu, hirugarren lerroak lehen elementua zero da eta beste hiru elementuak lehen hiru koefiziente bakoiti dira, eta laugarren lerroak lehen elementua zero da eta beste hiru elementuak lehen hiru koefiziente bikoiti dira.

Prozedura berdina jarraituz, determinanteen formak generalizatu ditzakegu. Determinanteen forma orokorra hurrengo bezala ematen da:

Sistema baten estabilitatea egiaztatzeko, kalkulatu determinante bakoitzaren balioa. Sistema estabilra da baldin eta soilik baldin determinante guztiak positibo badira. Determinante bat ere ez bada positiboa, sistema ez da estabilra.

Routh Estabilitatearen Kriterioa

Kriterio hau sistema baten estabilitatearen Hurwitz Kriterio modifikatua ere deitzen da. Bi zatitan ikasiko dugu kriterio hau. Lehenengo zatia sistema baten estabilitatearen baldintza beharrezkoa hartuko du, eta bigarren zatia sistema baten estabilitatearen baldintza nahikoa hartuko du. Berriro hartu sistemaren ezaugarri ekuazioa hurrengo bezala:

1)     Lehenengo zatia (sistema baten estabilitatearen baldintza beharrezkoa): Hemen bi baldintza ditugu, hauek dira:

• Ezaugarri ekuazioaren koefiziente guztiak positibo eta erreala izan behar dira.

• Ezaugarri ekuazioaren koefiziente guztiak ez-zeroak izan behar dira.

2)     Bigarren zatia (sistema baten estabilitatearen baldintza nahikoa): Lehenengo Routh taula osatu. Routh taula osatzeko hurrengo pausuak jarraitu:

Lehen lerroa ezaugarri ekuazioaren termino bikoiti guztiak edukiko ditu. Hasieratik amaiera arte (termino bikoiti) ordenatu. Lehen lerroa hurrengo bezala idatziko da: a0 a2 a4 a6…………

Bigarren lerroa ezaugarri ekuazioaren termino bakoiti guztiak edukiko ditu. Hasieratik amaiera arte (termino bakoiti) ordenatu. Bigarren lerroa hurrengo bezala idatziko da: a1 a3 a5 a7………..

Hirugarren lerroko elementuak hurrengo moduan kalkula daitezke:

Elementu lehena : a0-a hurrengo zutabearen diagonalki aurkitzen den elementuarekin (a3) biderkatu, eta emaitza a1 eta a2-ren (a2 hurrengo zutabearen diagonalki aurkitzen den elementua) biderkaduraren kendu. Emaitza a1-zerekin zatitu. Matematikoki, lehen elementua hurrengo bezala idatziko da

Elementu bigarrena : a0-a hurrengo zutabeko diagonalki aurkitzen den elementuarekin (a5) biderkatu, eta emaitza a1 eta a4-ren (a4 hurrengo zutabearen diagonalki aurkitzen den elementua) biderkaduraren kendu. Emaitza a1-zerekin zatitu. Matematikoki, bigarren elementua hurrengo bezala idatziko da

Modu berean, hirugarren lerroko elementu guztiak kalkula daitezke.

(d) Laugarren lerroko elementuak hurrengo prozedura erabiliz kalkula daitezke:

Elementu lehena : b1-a hurrengo zutabearen diagonalki aurkitzen den elementuarekin (a3) biderkatu, eta emaitza a1 eta b2-ren (b2 hurrengo zutabearen diagonalki aurkitzen den elementua) biderkaduraren kendu. Emaitza b1-zerekin zatitu. Matematikoki, lehen elementua hurrengo bezala idatziko da

 (2) Elementu bigarrena : b1-a hurrengo zutabearen diagonalki aurkitzen den elementuarekin (a5) biderkatu, eta emaitza a1 eta b3-ren (b3 hurrengo zutabearen diagonalki aurkitzen den elementua) biderkaduraren kendu. Emaitza a1-zerekin zatitu. Matematikoki, bigarren elementua hurrengo bezala idatziko da

Modu berean, laugarren lerroko elementu guztiak kalkula daitezke.

Modu berean, lerro guztien elementu guztiak kalkula daitezke.

Estabilitatearen kriterioa: lehen zutabearen elementu guztiak positibo badira, sistema estabilra da. Elementu bat ere negatiboa bada, sistema ez da estabilra.

Orain Routh Estabilitatearen Kriterioari buruzko kasu berezi batzuk azalduko ditugu:

Kasu lehena: Taula baten lerro baten lehen terminoa zero dela eta lerro horretan gutxienez elementu bat zero ez-bada. Kasu honetan, zeroaren ordez balio oso txiki bat (ε) hartuko dugu, zeroaren ondoan doazen. Zeroaren ordez (ε) jarriz, Routh taularen elementu guztiak kalkulatuko ditugu. 

Elementu guztiak kalkulatu ondoren, (ε) duten elementu guztietan limitea aplikatuko dugu. Limitea ebaztean, elementu bakoitzaren balio limitea positiboa bada, sistema estabilra dela esango dugu, bestela, sistema ez da estabilra.

Kasu bigarrena : Routh taula baten lerro baten elementu guztiak zero direnean. Kasu honetan, sistema marginaletasunaren sintomak dituela esan dezakegu. Lehenengo, lerro baten elementu guztiak zero direnen fisikoen esanahia ulertzeko. 

Fisikoen esanahia da ezaugarri ekuazioaren erroiek s planotan simetrikoak direla. Orain, kasu honetan estabilitatea bilatzeko, lehenengo laguntza ekuazioa aurkitu beharko dugu. Laguntza ekuazioa Routh taulan zeroen lerroaren gaineko lerroko elementuetatik sortu daiteke. Laguntza ekuazioa aurkitu ondoren, diferentziaztu egingo dugu zeroen lerroko elementuak lortzeko. 

Laguntza ekuazioa erabiliz osatutako Routh taula berrian aldaketa bat ere ez bada, orduan sistema estabilra dela esango dugu. Bestela, sistema ez da estabilra.