Routh Hurwitz Stability Criterion রাউথ-হুরউইট স্থিতিশীলতা মানদণ্ড

রাউথ হারউইটজ স্থিতিশীলতা মানদণ্ডের সংজ্ঞা

এটি একটি পদ্ধতি যা বৈশিষ্ট্য সমীকরণ ব্যবহার করে একটি সিস্টেমের স্থিতিশীলতা নির্ধারণ করে।

হারউইটজ মানদণ্ড

বৈশিষ্ট্য সমীকরণ ব্যবহার করে আমরা কয়েকটি হারউইটজ নির্ণায়ক তৈরি করতে পারি যা সিস্টেমের স্থিতিশীলতা নির্ধারণ করতে সাহায্য করে। সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য সমীকরণ নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত:

n^th মাত্রার বৈশিষ্ট্য সমীকরণের জন্য n টি নির্ণায়ক রয়েছে।

এখানে বৈশিষ্ট্য সমীকরণের গুণাঙ্কগুলি থেকে নির্ণায়ক লিখার পদ্ধতি দেওয়া হল। k^th মাত্রার বৈশিষ্ট্য সমীকরণের জন্য এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন:

নির্ণায়ক এক : এই নির্ণায়কের মান |a1| দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে a1 হল বৈশিষ্ট্য সমীকরণে sn-1-এর গুণাঙ্ক।

নির্ণায়ক দুই : এই নির্ণায়কের মান নিম্নরূপ দেওয়া হয়

এখানে প্রতিটি সারিতে উপাদানের সংখ্যা নির্ণায়ক সংখ্যার সমান এবং আমাদের নির্ণায়ক সংখ্যা এখানে দুই। প্রথম সারিতে প্রথম দুইটি বিজোড় গুণাঙ্ক এবং দ্বিতীয় সারিতে প্রথম দুইটি জোড় গুণাঙ্ক রয়েছে।

নির্ণায়ক তিন : এই নির্ণায়কের মান নিম্নরূপ দেওয়া হয়

এখানে প্রতিটি সারিতে উপাদানের সংখ্যা নির্ণায়ক সংখ্যার সমান এবং আমাদের নির্ণায়ক সংখ্যা এখানে তিন। প্রথম সারিতে প্রথম তিনটি বিজোড় গুণাঙ্ক, দ্বিতীয় সারিতে প্রথম তিনটি জোড় গুণাঙ্ক এবং তৃতীয় সারিতে প্রথম উপাদান শূন্য এবং বাকি দুইটি উপাদান প্রথম দুইটি বিজোড় গুণাঙ্ক।

নির্ণায়ক চার: এই নির্ণায়কের মান নিম্নরূপ দেওয়া হয়,

এখানে প্রতিটি সারিতে উপাদানের সংখ্যা নির্ণায়ক সংখ্যার সমান এবং আমাদের নির্ণায়ক সংখ্যা এখানে চার। প্রথম সারিতে প্রথম চারটি গুণাঙ্ক, দ্বিতীয় সারিতে প্রথম চারটি জোড় গুণাঙ্ক, তৃতীয় সারিতে প্রথম উপাদান শূন্য এবং বাকি তিনটি উপাদান প্রথম তিনটি বিজোড় গুণাঙ্ক এবং চতুর্থ সারিতে প্রথম উপাদান শূন্য এবং বাকি তিনটি উপাদান প্রথম তিনটি জোড় গুণাঙ্ক।

একই প্রক্রিয়া অনুসরণ করে আমরা নির্ণায়ক গঠন সাধারণীকরণ করতে পারি। নির্ণায়কের সাধারণ ফর্ম নিম্নরূপ:

সিস্টেমের স্থিতিশীলতা পরীক্ষা করতে, প্রতিটি নির্ণায়কের মান গণনা করুন। প্রতিটি নির্ণায়ক যদি ইতিবাচক হয়, তবে সিস্টেম স্থিতিশীল। যদি কোনও নির্ণায়ক ইতিবাচক না হয়, তবে সিস্টেম স্থিতিশীল নয়।

রাউথ স্থিতিশীলতা মানদণ্ড

এই মানদণ্ডটি সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য সংশোধিত হারউইটজ মানদণ্ড হিসাবেও পরিচিত। আমরা এই মানদণ্ডটি দুই ভাগে অধ্যয়ন করব। প্রথম ভাগে সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত এবং দ্বিতীয় ভাগে সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য যথেষ্ট শর্ত অধ্যয়ন করব। আবার আমরা সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য সমীকরণটি বিবেচনা করি

1)     ভাগ এক (সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত): এই ভাগে আমাদের দুইটি শর্ত রয়েছে যা নিম্নে দেওয়া হল:

• বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সমস্ত গুণাঙ্ক ইতিবাচক এবং বাস্তব হওয়া উচিত।

• বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সমস্ত গুণাঙ্ক শূন্য না হওয়া উচিত।

2)     ভাগ দুই (সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য যথেষ্ট শর্ত): প্রথমে রাউথ অ্যারে গঠন করা যাক। রাউথ অ্যারে গঠনের জন্য এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করুন:

প্রথম সারিতে বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সমস্ত জোড় পদ থাকবে। তাদের প্রথম (জোড় পদ) থেকে শেষ (জোড় পদ) পর্যন্ত সাজান। প্রথম সারি নিম্নরূপ লেখা হল: a0 a2 a4 a6…………

দ্বিতীয় সারিতে বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সমস্ত বিজোড় পদ থাকবে। তাদের প্রথম (বিজোড় পদ) থেকে শেষ (বিজোড় পদ) পর্যন্ত সাজান। প্রথম সারি নিম্নরূপ লেখা হল: a1 a3 a5 a7………..

তৃতীয় সারির উপাদানগুলি নিম্নরূপ গণনা করা যায়:

প্রথম উপাদান : a0-কে পরবর্তী কলামের কোণার উপাদান (অর্থাৎ a3) দিয়ে গুণ করুন, তারপর এটি a1 এবং a2 (যেখানে a2 পরবর্তী কলামের কোণার উপাদান) এর গুণফল থেকে বিয়োগ করুন এবং তারপর ফলাফলটি a1 দিয়ে ভাগ করুন। গাণিতিকভাবে আমরা প্রথম উপাদান লিখি

দ্বিতীয় উপাদান : a0-কে পরবর্তী কলামের কোণার উপাদান (অর্থাৎ a5) দিয়ে গুণ করুন, তারপর এটি a1 এবং a4 (যেখানে, a4 পরবর্তী কলামের কোণার উপাদান) এর গুণফল থেকে বিয়োগ করুন এবং তারপর ফলাফলটি a1 দিয়ে ভাগ করুন। গাণিতিকভাবে আমরা দ্বিতীয় উপাদান লিখি

একইভাবে, আমরা তৃতীয় সারির সমস্ত উপাদান গণনা করতে পারি।

(d) চতুর্থ সারির উপাদানগুলি নিম্নলিখিত পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা করা যায়:

প্রথম উপাদান : b1-কে পরবর্তী কলামের কোণার উপাদান (অর্থাৎ a3) দিয়ে গুণ করুন, তারপর এটি a1 এবং b2 (যেখানে, b2 পরবর্তী কলামের কোণার উপাদান) এর গুণফল থেকে বিয়োগ করুন এবং তারপর ফলাফলটি b1 দিয়ে ভাগ করুন। গাণিতিকভাবে আমরা প্রথম উপাদান লিখি

 (2) দ্বিতীয় উপাদান : b1-কে পরবর্তী কলামের কোণার উপাদান (অর্থাৎ a5) দিয়ে গুণ করুন, তারপর এটি a1 এবং b3 (যেখানে, b3 পরবর্তী কলামের কোণার উপাদান) এর গুণফল থেকে বিয়োগ করুন এবং তারপর ফলাফলটি a1 দিয়ে ভাগ করুন। গাণিতিকভাবে আমরা দ্বিতীয় উপাদান লিখি

একইভাবে, আমরা চতুর্থ সারির সমস্ত উপাদান গণনা করতে পারি।

একইভাবে, আমরা সমস্ত সারির সমস্ত উপাদান গণনা করতে পারি।