Kriteryo sa Estabilidad ni Routh Hurwitz

Pahayag sa Kriteryo ng Estabilidad ni Routh Hurwitz

Ito ay isang paraan upang matukoy ang estabilidad ng isang sistema gamit ang karakteristikong ekwasyon.

Kriteryo ni Hurwitz

Gamit ang karakteristikong ekwasyon, maaari nating lumikha ng ilang determinante ng Hurwitz upang matukoy ang estabilidad ng sistema. Ang karakteristikong ekwasyon ng sistema ay inilalarawan bilang sumusunod:

Mayroong n determinante para sa ika-n na order na karakteristikong ekwasyon.

Narito kung paano isulat ang mga determinante mula sa mga koepisyente ng karakteristikong ekwasyon. Sundin ang mga sumusunod na hakbang para sa ika-k na order na karakteristikong ekwasyon:

Unang determinante : Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng |a1| kung saan ang a1 ay ang koepisyente ng sn-1 sa karakteristikong ekwasyon.

Ikalawang determinante : Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat row ay katumbas ng bilang ng determinante at mayroon tayong determinante na dalawa. Ang unang row ay binubuo ng unang dalawang odd na koepisyente at ang ikalawang row ay binubuo ng unang dalawang even na koepisyente.

Ikatlong determinante : Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat row ay katumbas ng bilang ng determinante at mayroon tayong determinante na tatlo. Ang unang row ay binubuo ng unang tatlong odd na koepisyente, ang ikalawang row ay binubuo ng unang tatlong even na koepisyente, at ang ikatlong row ay binubuo ng unang elemento bilang zero at ang natitirang dalawang elemento bilang unang dalawang odd na koepisyente.

Ikaapat na determinante: Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng,

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat row ay katumbas ng bilang ng determinante at mayroon tayong determinante na apat. Ang unang row ay binubuo ng unang apat na koepisyente, ang ikalawang row ay binubuo ng unang apat na even na koepisyente, ang ikatlong row ay binubuo ng unang elemento bilang zero at ang natitirang tatlong elemento bilang unang tatlong odd na koepisyente, at ang ikaapat na row ay binubuo ng unang elemento bilang zero at ang natitirang tatlong elemento bilang unang tatlong even na koepisyente.

Sundin ang parehong proseso upang heneralisahin ang pagbuo ng determinante. Ang pangkalahatang anyo ng determinante ay ibinibigay sa ibaba:

Upang suriin ang estabilidad ng sistema, kalkulahin ang halaga ng bawat determinante. Ang sistema ay stable kung ang bawat determinante ay positibo. Kung anumang determinante ay hindi positibo, ang sistema ay hindi stable.

Kriteryo ng Estabilidad ni Routh

Ang kriteryong ito ay kilala rin bilang modified Hurwitz Criterion of stability ng sistema. Aaralin natin ang kriteryong ito sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay magbibigay ng kinakailangang kondisyon para sa estabilidad ng sistema at ang ikalawang bahagi ay magbibigay ng sapat na kondisyon para sa estabilidad ng sistema. Ipaglaban natin muli ang karakteristikong ekwasyon ng sistema bilang

1)     Unang bahagi (kinakailangang kondisyon para sa estabilidad ng sistema): Dito mayroon tayong dalawang kondisyon na inilalarawan sa ibaba:

• Ang lahat ng koepisyente ng karakteristikong ekwasyon ay dapat positibo at tunay.

• Ang lahat ng koepisyente ng karakteristikong ekwasyon ay dapat hindi zero.

2)     Ikalawang bahagi (sapat na kondisyon para sa estabilidad ng sistema): Unawain natin muna ang routh array. Upang makonstruksyon ang routh array, sundin ang mga sumusunod na hakbang:

Ang unang row ay gaganapin ng lahat ng even na termino ng karakteristikong ekwasyon. Ayusin sila mula sa unang (even term) hanggang sa huling (even term). Ang unang row ay isinulat sa ibaba: a0 a2 a4 a6…………

Ang ikalawang row ay gaganapin ng lahat ng odd na termino ng karakteristikong ekwasyon. Ayusin sila mula sa unang (odd term) hanggang sa huling (odd term). Ang ikalawang row ay isinulat sa ibaba: a1 a3 a5 a7………..

Ang mga elemento ng ikatlong row ay maaaring ikalkula bilang:

Unang elemento : I-multiply ang a0 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a3) pagkatapos i-subtract ito sa product ng a1 at a2 (kung saan ang a2 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay hahatiin ang resulta sa a1. Matematikal na isinulat natin ang unang elemento

Ikalawang elemento : I-multiply ang a0 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a5) pagkatapos i-subtract ito sa product ng a1 at a4 (kung saan, a4 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay hahatiin ang resulta sa a1. Matematikal na isinulat natin ang ikalawang elemento

Gaya ng nabanggit, maaari nating ikalkula ang lahat ng mga elemento ng ikatlong row.

(d) Maaaring ikalkula ang mga elemento ng ikaapat na row gamit ang sumusunod na proseso:

Unang elemento : I-multiply ang b1 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a3) pagkatapos i-subtract ito sa product ng a1 at b2 (kung saan, b2 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay hahatiin ang resulta sa b1. Matematikal na isinulat natin ang unang elemento

 (2) Ikalawang elemento : I-multiply ang b1 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a5) pagkatapos i-subtract ito sa product ng a1 at b3 (kung saan, b3 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay hahatiin ang resulta sa a1. Matematikal na isinulat natin ang ikalawang elemento

Gaya ng nabanggit, maaari nating ikalkula ang lahat ng mga elemento ng ikaapat na row.

Gaya ng nabanggit, maaari nating ikalkula ang lahat ng mga elemento ng lahat ng mga row.

Kriteryo ng estabilidad kung ang lahat ng mga elemento ng unang column ay positibo, ang sistema ay stable. Ngunit kung anumang isa sa kanila ay negatibo, ang sistema ay hindi stable.

Ngayon, mayroon tayong ilang espesyal na kaso na may kaugnayan sa Kriteryo ng Estabilidad ni Routh na inilalarawan sa ibaba:

Kaso uno: Kung ang unang termino sa anumang row ng array ay zero habang ang natitirang bahagi ng row ay may kahit isang non-zero na termino. Sa kaso na ito, asumihin natin ang napakaliit na halaga (ε) na lumalapit sa zero sa lugar ng zero. Sa pamamagitan ng pagsasalitla ng zero sa (ε), ikalkula natin ang lahat ng mga elemento ng Routh array. 

Pagkatapos ikalkula ang lahat ng mga elemento, ilapat natin ang limit sa bawat elemento na naglalaman ng (ε). Sa pag-solve ng limit sa bawat elemento, kung makukuha natin ang positibong limit value, sasabihin natin na ang sistema ay stable, kung hindi, sasabihin natin na ang sistema ay hindi stable.

Kaso dos : Kapag ang lahat ng mga elemento ng anumang row ng Routh array ay zero. Sa kaso na ito, maaari nating sabihin na ang sistema ay may sintomas ng marginal na estabilidad. Unawain natin muna ang pisikal na kahulugan ng pagkakaroon ng lahat ng mga elemento na zero sa anumang row. 

Ang pisikal na kahulugan nito ay may simetriyang nakalok na mga ugat ng karakteristikong ekwasyon sa s plane. Ngayon, upang malaman ang estabilidad sa kaso na ito, unawain natin muna ang auxiliary equation. Ang auxiliary equation ay maaaring lumikha gamit ang mga elemento ng row na nasa itaas ng row ng zeros sa Routh array. Pagkatapos makahanap ng auxiliary equation, ikalkula natin ang derivative ng auxiliary equation upang makakuha ng mga elemento ng zero row. 

Kung walang pagbabago ng sign sa bagong Routh array na nabuo gamit ang auxiliary equation, sasabihin natin na ang sistema ay limitado na stable. Sa lahat ng ibang kaso, sasabihin natin na ang sistema ay unstable.