Критерий устойчивости Рауса-Гурвица
Критерий устойчивости Рауса-Гурвица: определение
Это метод определения устойчивости системы с использованием характеристического уравнения.
Критерий Гурвица
Используя характеристическое уравнение, мы можем создать несколько определителей Гурвица для определения устойчивости системы. Характеристическое уравнение системы определяется следующим образом:
Для характеристического уравнения n-го порядка существует n определителей.
Вот как записываются определители из коэффициентов характеристического уравнения. Следуйте этим шагам для характеристического уравнения k-го порядка:
Определитель один : Значение этого определителя задается |a1|, где a1 — это коэффициент sn-1 в характеристическом уравнении.
Определитель два : Значение этого определителя задается
Здесь количество элементов в каждой строке равно номеру определителя, и у нас здесь номер определителя равен двум. Первая строка состоит из первых двух нечетных коэффициентов, а вторая строка состоит из первых двух четных коэффициентов.
Определитель три : Значение этого определителя задается
Здесь количество элементов в каждой строке равно номеру определителя, и у нас здесь номер определителя равен трем. Первая строка состоит из первых трех нечетных коэффициентов, вторая строка состоит из первых трех четных коэффициентов, а третья строка состоит из первого элемента, равного нулю, и остальных двух элементов, равных первым двум нечетным коэффициентам.
Определитель четыре: Значение этого определителя задается,
Здесь количество элементов в каждой строке равно номеру определителя, и у нас здесь номер определителя равен четырем. Первая строка состоит из первых четырех коэффициентов, вторая строка состоит из первых четырех четных коэффициентов, третья строка состоит из первого элемента, равного нулю, и остальных трех элементов, равных первым трем нечетным коэффициентам, а четвертая строка состоит из первого элемента, равного нулю, и остальных трех элементов, равных первым трем четным коэффициентам.
Следуя этой же процедуре, мы можем обобщить формирование определителей. Общая форма определителя приведена ниже:
Чтобы проверить устойчивость системы, вычислите значение каждого определителя. Система устойчива, если каждый определитель положителен. Если какой-либо определитель не является положительным, система неустойчива.
Критерий устойчивости Рауса
Этот критерий также известен как модифицированный критерий Гурвица устойчивости системы. Мы изучим этот критерий в двух частях. Первая часть охватит необходимые условия устойчивости системы, а вторая часть — достаточные условия устойчивости системы. Рассмотрим снова характеристическое уравнение системы как
1) Первая часть (необходимое условие устойчивости системы): Здесь у нас есть два условия, которые приведены ниже:
Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными и действительными.
Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть ненулевыми.
2) Вторая часть (достаточное условие устойчивости системы): Сначала построим таблицу Рауса. Для построения таблицы Рауса следуйте этим шагам:
Первая строка будет состоять из всех четных членов характеристического уравнения. Расположите их от первого (четного члена) до последнего (четного члена). Первая строка записана ниже: a0 a2 a4 a6…………
Вторая строка будет состоять из всех нечетных членов характеристического уравнения. Расположите их от первого (нечетного члена) до последнего (нечетного члена). Вторая строка записана ниже: a1 a3 a5 a7………..
Элементы третьей строки можно вычислить следующим образом:
Первый элемент : Умножьте a0 на диагонально противоположный элемент следующего столбца (то есть a3), затем вычтите это из произведения a1 и a2 (где a2 — это диагонально противоположный элемент следующего столбца), и, наконец, разделите полученный результат на a1. Математически мы записываем первый элемент
Второй элемент : Умножьте a0 на диагонально противоположный элемент следующего за следующим столбца (то есть a5), затем вычтите это из произведения a1 и a4 (где a4 — это диагонально противоположный элемент следующего за следующим столбца), и, наконец, разделите полученный результат на a1. Математически мы записываем второй элемент
Аналогично, мы можем вычислить все элементы третьей строки.
(d) Элементы четвертой строки можно вычислить, используя следующую процедуру:
Первый элемент : Умножьте b1 на диагонально противоположный элемент следующего столбца (то есть a3), затем вычтите это из произведения a1 и b2 (где b2 — это диагонально противоположный элемент следующего столбца), и, наконец, разделите полученный результат на b1. Математически мы записываем первый элемент
(2) Второй элемент : Умножьте b1 на диагонально противоположный элемент следующего за следующим столбца (то есть a5), затем вычтите это из произведения a1 и b3 (где b3 — это диагонально противоположный элемент следующего за следующим столбца), и, наконец, разделите полученный результат на a1. Математически мы записываем второй элемент
Аналогично, мы можем вычислить все элементы четвертой строки.
Аналогично, мы можем вычислить все элементы всех строк.
Критерии устойчивости: если все элементы первого столбца положительны, то система устойчива. Однако, если хотя бы один из них отрицательный, система неустойчива.
Теперь рассмотрим некоторые особые случаи, связанные с критерием устойчивости Рауса, которые обсуждаются ниже:
Случай один: Если первый член в любой строке массива равен нулю, а остальная часть строки содержит хотя бы один ненулевой член.В этом случае мы предположим очень маленькое значение (ε), которое стремится к нулю, вместо нуля. Заменив ноль на (ε), мы вычислим все элементы таблицы Рауса.
После вычисления всех элементов мы применим предел к каждому элементу, содержащему (ε). Решив предел для каждого элемента, если мы получим положительное предельное значение, то скажем, что данная система устойчива, в противном случае во всех остальных случаях мы скажем, что данная система неустойчива.
Случай второй : Когда все элементы любой строки таблицы Рауса равны нулю. В этом случае мы можем сказать, что система имеет признаки граничной устойчивости. Сначала давайте разберемся с физическим смыслом того, что все элементы строки равны нулю.
Физический смысл заключается в том, что корни характеристического уравнения симметрично расположены в плоскости s.Теперь, чтобы определить устойчивость в этом случае, сначала найдем вспомогательное уравнение. Вспомогательное уравнение можно составить, используя элементы строки, расположенной над строкой нулей в таблице Рауса. После нахождения вспомогательного уравнения мы продифференцируем его, чтобы получить элементы строки нулей.
Если в новой таблице Рауса, составленной с использованием вспомогательного уравнения, нет изменения знака, то в этом случае мы говорим, что данная система ограниченно устойчива. Во всех остальных случаях мы будем говорить, что данная система неустойчива.
