Kryterium stabilności Routha-Hurwitza

Kryterium stabilności Routha-Hurwitza - definicja

Jest to metoda określania stabilności systemu za pomocą równania charakterystycznego.

Kryterium Hurwitza

Za pomocą równania charakterystycznego możemy utworzyć kilka wyznaczników Hurwitza, aby określić stabilność systemu. Równanie charakterystyczne systemu jest zdefiniowane następująco:

Dla równania charakterystycznego n-tego stopnia istnieje n wyznaczników.

Oto sposób tworzenia wyznaczników z współczynników równania charakterystycznego. Postępuj zgodnie z tymi krokami dla równania charakterystycznego k-tego stopnia:

Pierwszy wyznacznik : Wartość tego wyznacznika wynosi |a1|, gdzie a1 to współczynnik sn-1 w równaniu charakterystycznym.

Drugi wyznacznik : Wartość tego wyznacznika wynosi

Liczba elementów w każdym wierszu jest równa numerowi wyznacznika, a tu mamy drugi wyznacznik. Pierwszy wiersz składa się z dwóch pierwszych nieparzystych współczynników, a drugi wiersz z dwóch pierwszych parzystych współczynników.

Trzeci wyznacznik : Wartość tego wyznacznika wynosi

Liczba elementów w każdym wierszu jest równa numerowi wyznacznika, a tu mamy trzeci wyznacznik. Pierwszy wiersz składa się z trzech pierwszych nieparzystych współczynników, drugi wiersz z trzech pierwszych parzystych współczynników, a trzeci wiersz z pierwszym elementem równym zero i pozostałymi dwoma elementami jako pierwsze dwa nieparzyste współczynniki.

Czwarty wyznacznik: Wartość tego wyznacznika wynosi,

Liczba elementów w każdym wierszu jest równa numerowi wyznacznika, a tu mamy czwarty wyznacznik. Pierwszy wiersz składa się z czterech pierwszych współczynników, drugi wiersz z czterech pierwszych parzystych współczynników, trzeci wiersz z pierwszym elementem równym zero i pozostałymi trzema elementami jako pierwsze trzy nieparzyste współczynniki, a czwarty wiersz z pierwszym elementem równym zero i pozostałymi trzema elementami jako pierwsze trzy parzyste współczynniki.

Postępując takim samym sposobem, możemy uogólnić formowanie wyznacznika. Poniżej przedstawiamy ogólną formę wyznacznika:

Aby sprawdzić stabilność systemu, oblicz wartość każdego wyznacznika. System jest stabilny, jeśli każdy wyznacznik jest dodatni. Jeśli którykolwiek wyznacznik nie jest dodatni, system nie jest stabilny.

Kryterium stabilności Routha

To kryterium znane jest również jako zmodyfikowane kryterium Hurwitza stabilności systemu. Będziemy studiować to kryterium w dwóch częściach. Część pierwsza obejmie warunek konieczny stabilności systemu, a część druga - warunek wystarczający stabilności systemu. Ponownie rozważmy równanie charakterystyczne systemu jako

1)     Część pierwsza (warunek konieczny stabilności systemu): Mamy tutaj dwa warunki, które są przedstawione poniżej:

• Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego powinny być dodatnie i rzeczywiste.

• Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego powinny być niezerowe.

2)     Część druga (warunek wystarczający stabilności systemu): Najpierw skonstruujmy tablicę Routha. Aby skonstruować tablicę Routha, postępuj zgodnie z poniższymi krokami:

Pierwszy wiersz będzie zawierał wszystkie parzyste wyrazy równania charakterystycznego. Ułóż je od pierwszego (parzystego) do ostatniego (parzystego). Pierwszy wiersz jest zapisany poniżej: a0 a2 a4 a6…………

Drugi wiersz będzie zawierał wszystkie nieparzyste wyrazy równania charakterystycznego. Ułóż je od pierwszego (nieparzystego) do ostatniego (nieparzystego). Drugi wiersz jest zapisany poniżej: a1 a3 a5 a7………..

Elementy trzeciego wiersza można obliczyć w następujący sposób:

Pierwszy element : Pomnóż a0 przez element przekątnie naprzeciwległy w kolejnej kolumnie (tj. a3), następnie odejmij ten iloczyn od iloczynu a1 i a2 (gdzie a2 to element przekątnie naprzeciwległy w kolejnej kolumnie), a następnie podziel otrzymany wynik przez a1. Matematycznie zapisujemy pierwszy element

Drugi element : Pomnóż a0 przez element przekątnie naprzeciwległy w kolejnej kolumnie (tj. a5), następnie odejmij ten iloczyn od iloczynu a1 i a4 (gdzie a4 to element przekątnie naprzeciwległy w kolejnej kolumnie), a następnie podziel otrzymany wynik przez a1. Matematycznie zapisujemy drugi element

Podobnie możemy obliczyć wszystkie elementy trzeciego wiersza.

(d) Elementy czwartego wiersza można obliczyć, stosując następującą procedurę:

Pierwszy element : Pomnóż b1 przez element przekątnie naprzeciwległy w kolejnej kolumnie (tj. a3), następnie odejmij ten iloczyn od iloczynu a1 i b2 (gdzie b2 to element przekątnie naprzeciwległy w kolejnej kolumnie), a następnie podziel otrzymany wynik przez b1. Matematycznie zapisujemy pierwszy element

 (2) Drugi element : Pomnóż b1 przez element przekątnie naprzeciwległy w kolejnej kolumnie (tj. a5), następnie odejmij ten iloczyn od iloczynu a1 i b3 (gdzie b3 to element przekątnie naprzeciwległy w kolejnej kolumnie), a następnie podziel otrzymany wynik przez a1. Matematycznie zapisujemy drugi element

Podobnie możemy obliczyć wszystkie elementy czwartego wiersza.

Podobnie możemy obliczyć wszystkie elementy wszystkich wierszy.

Kryteria stabilności: jeśli wszystkie elementy pierwszej kolumny są dodatnie, system jest stabilny. Jeśli którykolwiek z nich jest ujemny, system jest niestabilny.

Istnieją pewne specjalne przypadki związane z kryterium stabilności Routha, które są omawiane poniżej:

Przypadek pierwszy: Jeśli pierwszy wyraz w dowolnym wierszu tablicy wynosi zero, podczas gdy reszta wiersza ma co najmniej jeden niezerowy wyraz. W tym przypadku założymy bardzo małą wartość (ε) dążącą do zera zamiast zera. Zastępując zero wartością (ε) obliczymy wszystkie elementy tablicy Routha. 

Po obliczeniu wszystkich elementów zastosujemy granicę do każdego elementu zawierającego (ε). Rozwiązując granicę przy każdym elemencie, jeśli otrzymamy dodatnią graniczną wartość, powiemy, że dany system jest stabilny, w przeciwnym razie stwierdzimy, że dany system jest niestabilny.

Przypadek drugi : Gdy wszystkie elementy dowolnego wiersza tablicy Routha wynoszą zero. W tym przypadku możemy powiedzieć, że system ma objawy marginalnej stabilności. Zrozummy najpierw fizyczne znaczenie posiadania wszystkich elementów równe zero w dowolnym wierszu. 

Fizyczne znaczenie to, że w płaszczyźnie s są symetrycznie rozmieszczone pierwiastki równania charakterystycznego.Aby określić stabilność w tym przypadku, najpierw znajdziemy równanie pomocnicze. Równanie pomocnicze można utworzyć, używając elementów wiersza bezpośrednio nad wierszem zerowym w tablicy Routha. Po znalezieniu równania pomocniczego różniczkujemy je, aby otrzymać elementy wiersza zerowego. 

Jeśli w nowej tablicy Routha utworzonej przy użyciu równania pomocniczego nie ma zmiany znaku, to w tym przypadku mówimy, że dany system jest ograniczony stabilny. We wszystkich innych przypadkach będziemy mówić, że dany system jest niestabilny.