Routh Hurwitz Stabilitetskriterium

Routh Hurwitz Stabilitetskriterium Definition

Det er en metode til at bestemme systemets stabilitet ved hjælp af karakteristiske ligninger.

Hurwitz Kriterium

Ved hjælp af den karakteristiske ligning kan vi oprette flere Hurwitz-determinanter for at fastslå systemets stabilitet. Systemets karakteristiske ligning er defineret som følger:

Der er n determinanter for en n^te ordens karakteristisk ligning.

Sådan skriver man determinanter fra koefficienterne i den karakteristiske ligning. Følg disse trin for en k'te ordens karakteristisk ligning:

Determinant en : Værdien af denne determinant er givet ved |a1|, hvor a1 er koefficienten for sn-1 i den karakteristiske ligning.

Determinant to : Værdien af denne determinant er givet ved

Her er antallet af elementer i hver række lig med determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er to. Den første række består af de første to ulige koefficienter, og den anden række består af de første to lige koefficienter.

Determinant tre : Værdien af denne determinant er givet ved

Her er antallet af elementer i hver række lig med determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er tre. Den første række består af de første tre ulige koefficienter, den anden række består af de første tre lige koefficienter, og den tredje række består af det første element som nul og resten af to elementer som de første to ulige koefficienter.

Determinant fire: Værdien af denne determinant er givet ved,

Her er antallet af elementer i hver række lig med determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er fire. Den første række består af de første fire koefficienter, den anden række består af de første fire lige koefficienter, den tredje række består af det første element som nul og resten af tre elementer som de første tre ulige koefficienter, og den fjerde række består af det første element som nul og resten af tre elementer som de første tre lige koefficienter.

Ved at følge samme procedure kan vi generalisere dannelse af determinanter. Den generelle form for en determinant er givet nedenfor:

For at kontrollere systemets stabilitet, beregn værdien af hver determinant. Systemet er stabilt, hvis hver determinant er positiv. Hvis en determinant ikke er positiv, er systemet ikke stabilt.

Routh Stabilitetskriterium

Dette kriterium er også kendt som det modificerede Hurwitz Kriterium for systemets stabilitet. Vi vil studere dette kriterium i to dele. Del en vil dække nødvendige betingelser for systemets stabilitet, og del to vil dække tilstrækkelige betingelser for systemets stabilitet. Lad os igen overveje systemets karakteristiske ligning som

1)     Del en (nødvendige betingelser for systemets stabilitet): Her har vi to betingelser, der er skrevet nedenfor:

• Alle koefficienter i den karakteristiske ligning skal være positive og reelle.

• Alle koefficienter i den karakteristiske ligning skal være forskellige fra nul.

2)     Del to (tilstrækkelige betingelser for systemets stabilitet): Lad os først konstruere Routh-arrayet. For at konstruere Routh-arrayet, følg disse trin:

Den første række vil bestå af alle de lige led i den karakteristiske ligning. Ordner dem fra det første (lige led) til det sidste (lige led). Den første række er skrevet nedenfor: a0 a2 a4 a6…………

Den anden række vil bestå af alle de ulige led i den karakteristiske ligning. Ordner dem fra det første (ulige led) til det sidste (ulige led). Den anden række er skrevet nedenfor: a1 a3 a5 a7………..

Elementerne i den tredje række kan beregnes som:

Første element : Gange a0 med diagonalt modsat element i næste kolonne (dvs. a3), derefter trække dette fra produktet af a1 og a2 (hvor a2 er diagonalt modsat element i næste kolonne) og dernæst dividere resultatet så opnået med a1. Matematisk skriver vi det første element som

Andet element : Gange a0 med diagonalt modsat element i næste til næste kolonne (dvs. a5), derefter trække dette fra produktet af a1 og a4 (hvor a4 er diagonalt modsat element i næste til næste kolonne) og dernæst dividere resultatet så opnået med a1. Matematisk skriver vi det andet element som

På samme måde kan vi beregne alle elementerne i den tredje række.

(d) Elementerne i den fjerde række kan beregnes ved at bruge følgende procedure:

Første element : Gange b1 med diagonalt modsat element i næste kolonne (dvs. a3), derefter trække dette fra produktet af a1 og b2 (hvor b2 er diagonalt modsat element i næste kolonne) og dernæst dividere resultatet så opnået med b1. Matematisk skriver vi det første element som

 (2) Andet element : Gange b1 med diagonalt modsat element i næste til næste kolonne (dvs. a5), derefter trække dette fra produktet af a1 og b3 (hvor b3 er diagonalt modsat element i næste til næste kolonne) og dernæst dividere resultatet så opnået med a1. Matematisk skriver vi det andet element som

På samme måde kan vi beregne alle elementerne i den fjerde række.

På samme måde kan vi beregne alle elementerne i alle rækker.

Stabilitetskriterier hvis alle elementerne i den første kolonne er positive, vil systemet være stabilt. Hvis nogen af dem er negativ, vil systemet være ustabil.

Nu er der nogle specielle tilfælde relateret til Routh Stabilitetskriterier, der diskuteres nedenfor:

Tilfælde et: Hvis det første led i en hvilken som helst række i arrayet er nul, mens resten af rækken har mindst ét ikke-nul-led. I dette tilfælde antager vi en meget lille værdi (ε), der nærmer sig nul i stedet for nul. Ved at erstatte nul med (ε) vil vi beregne alle elementerne i Routh-arrayet. 

Efter at have beregnet alle elementerne vil vi anvende grænsen på hvert element, der indeholder (ε). Ved at løse grænsen for hvert element, hvis vi får en positiv grænseværdi, vil vi sige, at det givne system er stabilt, ellers vil vi i alle andre tilfælde sige, at det givne system ikke er stabilt.

Tilfælde to : Når alle elementerne i en hvilken som helst række i Routh-arrayet er nul. I dette tilfælde kan vi sige, at systemet har symptomer på marginal stabilitet. Lad os først forstå den fysiske betydning af at have alle elementerne nul i en række. 

Den fysiske betydning er, at der findes symmetrisk placerede rødder i den karakteristiske ligning i s-planen.Nu for at finde ud af stabiliteten i dette tilfælde vil vi først finde den hjælpe-ligning. Den hjælpe-ligning kan dannes ved at bruge elementerne i den række lige over rækken med nuller i Routh-arrayet. Efter at have fundet den hjælpe-ligning vil vi differentiere den hjælpe-ligning for at få elementerne i nul-rækken. 

Hvis der ikke er nogen fortegnsskifte i det nye Routh-array, der dannes ved hjælp af den hjælpe-ligning, vil vi i dette sige, at det givne system er begrænset stabilt. I alle andre tilfælde vil vi sige, at det givne system er ustabelt.