Routh Hurwitz Stöðugleikarregla

Skilgreining á Routh Hurwitz staðfestingarreglu

Þetta er aðferð til að ákvarða stöðugleika kerfis með notkun eiginleika jöfnu.

Hurwitz regla

Með notkun eiginleika jöfnu getum við búið til nokkur Hurwitz ákveðendur til að ákvarða stöðugleika kerfisins. Eiginleika jafnan fyrir kerfið er skilgreind svona:

Það eru n ákveðendur fyrir n^ta röð eiginleika jöfnu.

Hér er hvernig ákveðendur eru skrifaðir frá stuðlum eiginleika jöfnunnar. Fylgdu þessum skrefum fyrir k-ta röð eiginleika jöfnu:

Ákveðenda einn : Gildi þessa ákveðenda er gefið með |a1| þar sem a1 er stuðullinn sn-1 í eiginleika jöfnunni.

Ákveðenda tvær : Gildi þessa ákveðenda er gefið með

Hér er fjöldi eininga í hverri línu jafnt og ákveðendanúmerið og við höfum ákveðendanúmerið tveir. Fyrsta línan samanstendur af fyrstu tveimur oddastuðlum og önnur línan samanstendur af fyrstu tveimur sléttustuðlum.

Ákveðenda þrír : Gildi þessa ákveðenda er gefið með

Hér er fjöldi eininga í hverri línu jafnt og ákveðendanúmerið og við höfum ákveðendanúmerið þrír. Fyrsta línan samanstendur af fyrstu þremur oddastuðlum, önnur línan samanstendur af fyrstu þremur sléttustuðlum og þriðja línan samanstendur af fyrsta einingu sem núll og restin tvær einingar sem fyrstu tvær oddastuðlar.

Ákveðenda fjórir: Gildi þessa ákveðenda er gefið með,

Hér er fjöldi eininga í hverri línu jafnt og ákveðendanúmerið og við höfum ákveðendanúmerið fjórir. Fyrsta línan samanstendur af fyrstu fjórum stuðlum, önnur línan samanstendur af fyrstu fjórum sléttustuðlum, þriðja línan samanstendur af fyrsta einingu sem núll og restin þrjár einingar sem fyrstu þrjár oddastuðlar, fjórða línan samanstendur af fyrsta einingu sem núll og restin þrjár einingar sem fyrstu þrjár sléttustuðlar.

Með að fylgja sama ferli getum við almennað myndun ákveðenda. Almenn formi ákveðenda er gefinn hér fyrir neðan:

Til að athuga stöðugleika kerfisins, reikna gildi hvers ákveðenda. Kerfið er stöðugt ef hver ákveðenda er jákvæð. Ef einhver ákveðenda er ekki jákvæð, þá er kerfið ekki stöðugt.

Routh staðfestingarregla

Þessi regla er einnig þekkt sem breytt Hurwitz regla um stöðugleika kerfisins. Við munum vinna með þessa reglu í tveimur hlutum. Fyrsti hluturinn mun katta um nauðsynlega skilyrði fyrir stöðugleika kerfisins og annar hluturinn mun katta um nægjanlegt skilyrði fyrir stöðugleika kerfisins. Skoðum aftur eiginleika jöfnu kerfisins sem

1)     Fyrsti hluti (nauðsynlegt skilyrði fyrir stöðugleika kerfisins): Hér höfum við tvö skilyrði sem eru skrifuð hér fyrir neðan:

• Allir stuðlar eiginleika jöfnunnar ættu að vera jákvæðir og raungöl.

• Allir stuðlar eiginleika jöfnunnar ættu að vera ekki núll.

2)     Annar hluti (nægjanlegt skilyrði fyrir stöðugleika kerfisins): Látum okkur byrja á að smíða Routh töflu. Til að smíða Routh töflu, fylgdu þessum skrefum:

Fyrsta línan mun samanstunda af öllum sléttum liðum eiginleika jöfnunnar. Raða þeim frá fyrsta (sléttu lið) til síðasta (sléttu lið). Fyrsta línan er skrifuð hér fyrir neðan: a0 a2 a4 a6…………

Önnur línan mun samanstunda af öllum odda liðum eiginleika jöfnunnar. Raða þeim frá fyrsta (odda lið) til síðasta (odda lið). Önnur línan er skrifuð hér fyrir neðan: a1 a3 a5 a7………..

Einingarnar í þriðju línu má reikna svona:

Fyrsta eining : Margfalda a0 með hornréttu mótlíka einingu næsta dálks (þ.e. a3) svo draga þetta frá margfeldinu a1 og a2 (þar sem a2 er hornréttu mótlíka einingu næsta dálks) og svo deila niðurstöðunni sem fengin með a1. Stærðfræðilega skrifum við fyrsta eininguna

Önnur eining : Margfalda a0 með hornréttu mótlíka einingu næsta næsta dálks (þ.e. a5) svo draga þetta frá margfeldinu a1 og a4 (þar sem a4 er hornréttu mótlíka einingu næsta næsta dálks) og svo deila niðurstöðunni sem fengin með a1. Stærðfræðilega skrifum við önnur eininguna

Svona getum við reiknað allar einingarnar í þriðju línu.

(d) Einingarnar í fjórðu línu má reikna með eftirfarandi ferli:

Fyrsta eining : Margfalda b1 með hornréttu mótlíka einingu næsta dálks (þ.e. a3) svo draga þetta frá margfeldinu a1 og b2 (þar sem b2 er hornréttu mótlíka einingu næsta dálks) og svo deila niðurstöðunni sem fengin með b1. Stærðfræðilega skrifum við fyrsta eininguna

 (2) Önnur eining : Margfalda b1 með hornréttu mótlíka einingu næsta næsta dálks (þ.e. a5) svo draga þetta frá margfeldinu a1 og b3 (þar sem b3 er hornréttu mótlíka einingu næsta næsta dálks) og svo deila niðurstöðunni sem fengin með a1. Stærðfræðilega skrifum við önnur eininguna

Svona getum við reiknað allar einingarnar í fjórðu línu.

Svona getum við reiknað allar einingarnar í öllum línum.

Staðfestingarskilyrði ef allar einingarnar í fyrsta dálki eru jákvæðar, þá verður kerfið stöðugt. En ef einhver af þeim er neikvæð, verður kerfið óstöðugt.

Nú eru nokkur sértilfelli tengd Routh staðfestingarreglunni sem eru fjallað um hér fyrir neðan:

Sértilfelli eitt: Ef fyrsti liður í einhverri línu töflunnar er núll en restin af línu hefur að minnsta kosti eina ekki núll einingu. Í þessu tilfelli munum við fá að vera mjög litla gildi (ε) sem stefnir á núll í stað núls. Með því að skipta núlli út fyrir (ε) munum við reikna allar einingarnar í Routh töflunni. 

Eftir að hafa reiknað alla einingarnar munum við setja markmið á hverri einingu sem inniheldur (ε). Eftir að hafa lausn á hverri einingu, ef við fáum jákvæð markgildi, munum við segja að gefið kerfi sé stöðugt, annars í öllum öðrum tilfellum munum við segja að gefið kerfi sé ekki stöðugt.

Sértilfelli tvö : Þegar allar einingarnar í einhverri línu Routh töflunnar eru núll. Í þessu tilfelli getum við sagt að kerfið hafi merki um grensystöðugleika. Skoðum fyrst störflega merkingu þess að hafa allar einingarnar núll í einhverri línu. 

Störflega merkingin er að það eru symmetriskt staðsett rætur eiginleika jöfnunnar í s-planinu. Nú til að finna stöðugleika í þessu tilfelli, munum við fyrst finna hjálpargildi. Hjálpargildi má smíða með notkun eininganna í línu beint ofan á línu núlla í Routh töflunni. Eftir að hafa fundið hjálpargildi, munum við deilda hjálpargildinu til að fá einingarnar í núll línu. 

Ef það er engin merki breyting í nýju Routh töflunni sem smíðuð var með hjálpargildi, þá munum við segja að gefið kerfi sé takmarkað stöðugt. En í öllum öðrum tilfellum munum við segja að gefið kerfi sé óstöðugt.