Routh Hurwitz Stabilite Kriteriyi

Routh Hurwitz Qalınqalınlıq Kriteriyası Tərif

Bu, xarakteristik tənliyi istifadə edərək sistemin qalınqalınlığını müəyyənləşdirmək üçün bir metodudur.

Hurwitz Kriteriyası

Xarakteristik tənliklərdən istifadə edərək, sistemin qalınqalınlığını müəyyənləşdirmək üçün bir neçə Hurwitz determinantları yarada bilərik. Sistemin xarakteristik tənliyi aşağıdakı kimi təyin olunur:

n-ci mertebedən xarakteristik tənlik üçün n determinant var.

İndi, xarakteristik tənliyin katsayılarından determinantların necə yazılacağını göstəriləcək. k-ci mertebedən xarakteristik tənlik üçün aşağıdakı addımları izleyin:

Birinci determinant : Bu determinantın dəyəri |a1| olur, burada a1 xarakteristik tənlikdə sn-1-ə aid olan katsayıdır.

İkinci determinant : Bu determinantın dəyəri aşağıdakı kimi verilir:

Hər sətirdəki element sayı determinant sayına bərabərdir və burada determinant sayı iki-dir. Birinci sətir ilk iki tək katsayıdan ibarətdir və ikinci sətir ilk iki cüt katsayıdan ibarətdir.

Üçüncü determinant : Bu determinantın dəyəri aşağıdakı kimi verilir:

Hər sətirdəki element sayı determinant sayına bərabərdir və burada determinant sayı üçdür. Birinci sətir ilk üç tək katsayıdan, ikinci sətir ilk üç cüt katsayıdan, üçüncü sətir isə ilk element sıfır, digər iki element isə ilk iki tək katsayıdır.

Dördüncü determinant : Bu determinantın dəyəri aşağıdakı kimi verilir:

Hər sətirdəki element sayı determinant sayına bərabərdir və burada determinant sayı dördür. Birinci sətir ilk dörd katsayıdan, ikinci sətir ilk dörd cüt katsayıdan, üçüncü sətir ilk element sıfır, digər üç element isə ilk üç tək katsayı, dördüncü sətir isə ilk element sıfır, digər üç element isə ilk üç cüt katsayıdır.

Eyni proseduru izləyərək determinant formalarını ümumiləşdirə bilərik. Determinantın ümumi forması aşağıdakı kimi verilir:

Sistemin qalınqalınlığını yoxlamaq üçün hər bir determinantın dəyərini hesablayın. Hər bir determinant müsbətdirsə, sistem qalınqalıdır. Eger hər hansı bir determinant müsbət deyilsə, sistem qalınqalı deyil.

Routh Qalınqalınlıq Kriteriyası

Bu kriteriya, sistemin qalınqalınlığı üçün dəyişdirilmiş Hurwitz Kriteriyası kimi də tanınır. Bu kriteriyayı iki hissədə öyrənəcəyik. Birinci hissə, sistemin qalınqalıqlıq üçün zəruri şərtləri, ikinci hissə isə, sistemin qalınqalıqlıq üçün kafi şərtləri ilə bağlı olacaq. Yenidən sistemin xarakteristik tənliyini aşağıdakı kimi nəzərə alaq:

1)     Birinci hissə (sistemin qalınqalıqlıq üçün zəruri şərtlər): Burada aşağıda yazılan iki şərtimiz var:

• Xarakteristik tənliyin bütün katsayıları müsbət və real olmalıdır.

• Xarakteristik tənliyin bütün katsayıları sıfırdan fərqli olmalıdır.

2)     İkinci hissə (sistemin qalınqalıqlıq üçün kafi şərtlər): İndi Routh massivini inşa edək. Routh massivini inşa etmək üçün aşağıdakı addımları izleyin:

Birinci sətir, xarakteristik tənliyin bütün cüt terimlərindən ibarət olacaq. Onları ilk (cüt terim) dən sonuncu (cüt terim) kimi sıralayın. Birinci sətir aşağıdakı kimi yazılır: a0 a2 a4 a6…………

İkinci sətir, xarakteristik tənliyin bütün tək terimlərindən ibarət olacaq. Onları ilk (tək terim) dən sonuncu (tək terim) kimi sıralayın. İkinci sətir aşağıdakı kimi yazılır: a1 a3 a5 a7………..

Üçüncü sətirin elementləri aşağıdakı kimi hesablanır:

Birinci element : a0-ni növbəti sütundaki çapraz qarşı element (yəni a3) ilə vurmaq, sonra bu hasilin a1 və a2 (burada a2, növbəti sütundaki çapraz qarşı elementdir) hasilinə çıxmaq və nihayət alinan nəticəni a1-ə bölüb, matematik olaraq birinci elementi yazırıq

İkinci element : a0-ni növbəti sütundaki çapraz qarşı element (yəni a5) ilə vurmaq, sonra bu hasilin a1 və a4 (burada a4, növbəti sütundaki çapraz qarşı elementdir) hasilinə çıxmaq və nihayət alinan nəticəni a1-ə bölüb, matematik olaraq ikinci elementi yazırıq

Böyük ehtimal ile, üçüncü sətirin bütün elementlərini eyni metodla hesablaya bilərik.

(d) Dördüncü sətirin elementləri aşağıdakı prosedura əsasən hesablanır:

Birinci element : b1-i növbəti sütundaki çapraz qarşı element (yəni a3) ilə vurmaq, sonra bu hasilin a1 və b2 (burada b2, növbəti sütundaki çapraz qarşı elementdir) hasilinə çıxmaq və nihayət alinan nəticəni b1-ə bölüb, matematik olaraq birinci elementi yazırıq

 (2) İkinci element : b1-i növbəti sütundaki çapraz qarşı element (yəni a5) ilə vurmaq, sonra bu hasilin a1 və b3 (burada b3, növbəti sütundaki çapraz qarşı elementdir) hasilinə çıxmaq və nihayət alinan nəticəni a1-ə bölüb, matematik olaraq ikinci elementi yazırıq

Böyük ehtimal ile, dördüncü sətirin bütün elementlərini eyni metodla hesablaya bilərik.

Böyük ehtimal ile, bütün sətirlərin elementlərini eyni metodla hesablaya bilərik.

Qalınqalınlıq kriteriyası, əgər ilk sütundakı bütün elementlər müsbətdirsə, sistem qalınqalıdır. Amma əgər onlardan biri mənfi olarsa, sistem qalınqalı deyil.

İndi, Routh Qalınqalınlıq Kriteriyası ilə bağlı bəzi xüsusi hallar var ki, aşağıda danışılacaqdır:

Birinci hal : Massivin hər hansı bir sətirindəki ilk element sıfır, lakin sətirin qalan hissəsi ən az bir sıfırdan fərqli elementə malikdir. Bu halda, sıfırın yerinə çox kiçik bir dəyər (ε) götürə bilərik ki, bu dəyər sıfıra yaxınlaşır. Sıfırı (ε) ilə əvəzləyərək, Routh massivinin bütün elementlərini hesablayacağıq. 

Bütün elementləri hesabladıqdan sonra, hər bir (ε) əhatə edən elementin limitini tətbiq edəcəyik. Hər bir elementin limitini həll edərkən, əgər pozitiv limit qiyməti alsaq, verilən sistem qalınqalıdır, əks halda, sistem qalınqalı deyil.

İkinci hal : Routh massivinin hər hansı bir sətirindəki bütün elementlər sıfır olduqda. Bu halda, sistem marcapara qalınqalılıq simptomlarına malikdir. Öncə hər hansı bir sətirin bütün elementlərinin sıfır olması haqqında fiziki mənasını anlayaq. 

Fiziki məna, xarakteristik tənliyin köklərinin s düzlemində simmetrik olaraq yerləşdiyidir.İndi, bu halda qalınqalılığı tapmaq üçün, sıfır sətirin üstündəki sətirdəki elementlərdən istifadə edərək, köməkçi tənliyi tapmalıyıq. Köməkçi tənliyi tapdıqdan sonra, onu diferensial etməklə sıfır sətirin elementlərini əldə edə bilərik. 

Əgər köməkçi tənliyin köməyiylə yaratılan yeni Routh massivində işarə dəyişməsi yoxdursa, bu halda, verilən sistem məhdud qalınqalıdır. Bütün digər hallarda, verilən sistem qalınqalı deyil.