Routh Hurwitz Stabilitetskriterie
Routh Hurwitz Stabilitetskriterium Definisjon
Det er en metode for å bestemme systemets stabilitet ved hjelp av karakteristisk ligning.
Hurwitz Kriterium
Ved hjelp av den karakteristiske ligningen kan vi opprette flere Hurwitz-determinanter for å bestemme systemets stabilitet. Den karakteristiske ligningen for systemet er definert som følger:
Det er n determinanter for en nte ordens karakteristisk ligning.
Her er hvordan man skriver determinanter fra koeffisientene i den karakteristiske ligningen. Følg disse trinnene for en k-ordens karakteristisk ligning:
Determinant én : Verdien av denne determinanten er gitt av |a1| der a1 er koeffisienten til sn-1 i den karakteristiske ligningen.
Determinant to : Verdien av denne determinanten er gitt av
Her er antallet elementer i hver rad lik determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er to. Den første raden består av de to første oddetall-koeffisientene, og den andre raden består av de to første partall-koeffisientene.
Determinant tre : Verdien av denne determinanten er gitt av
Her er antallet elementer i hver rad lik determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er tre. Den første raden består av de tre første oddetall-koeffisientene, den andre raden består av de tre første partall-koeffisientene, og den tredje raden består av det første elementet som null og resten av de to elementene som de to første oddetall-koeffisientene.
Determinant fire: Verdien av denne determinanten er gitt av,
Her er antallet elementer i hver rad lik determinantnummeret, og vi har determinantnummeret her er fire. Den første raden består av de fire første koeffisientene, den andre raden består av de fire første partall-koeffisientene, den tredje raden består av det første elementet som null og resten av de tre elementene som de tre første oddetall-koeffisientene, og den fjerde raden består av det første elementet som null og resten av de tre elementene som de tre første partall-koeffisientene.
Ved å følge samme prosedyre kan vi generalisere determinanten. Den generelle formen for determinanten er gitt nedenfor:
For å sjekke systemets stabilitet, beregn verdien av hver determinant. Systemet er stabil hvis hver determinant er positiv. Hvis noen determinant ikke er positiv, er systemet ikke stabil.
Routh Stabilitetskriterium
Dette kriteriet er også kjent som det modifiserte Hurwitz-kriteriet for systemets stabilitet. Vi vil studere dette kriteriet i to deler. Del ett vil dekke nødvendig betingelse for systemets stabilitet, og del to vil dekke tilstrekkelig betingelse for systemets stabilitet. La oss igjen betrakte den karakteristiske ligningen for systemet som
1) Del ett (nødvendig betingelse for systemets stabilitet): Her har vi to betingelser som er skrevet nedenfor:
Alle koeffisientene i den karakteristiske ligningen skal være positive og reelle.
Alle koeffisientene i den karakteristiske ligningen skal være ulike null.
2) Del to (tilstrekkelig betingelse for systemets stabilitet): La oss først konstruere Routh-tabellen. For å konstruere Routh-tabellen, følg disse trinnene:
Den første raden vil bestå av alle de partallstermene i den karakteristiske ligningen. Ordner dem fra den første (partallsterm) til den siste (partallsterm). Den første raden er skrevet nedenfor: a0 a2 a4 a6…………
Den andre raden vil bestå av alle de oddetallstermene i den karakteristiske ligningen. Ordner dem fra den første (oddetallsterm) til den siste (oddetallsterm). Den første raden er skrevet nedenfor: a1 a3 a5 a7………..
Elementene i den tredje raden kan beregnes som:
Første element : Multipliser a0 med diagonalt motsatt element i neste kolonne (dvs. a3), trekker dette fra produktet av a1 og a2 (der a2 er diagonalt motsatt element i neste kolonne) og deler så resultatet slik at det blir med a1. Matematisk skriver vi det første elementet som
Andre element : Multipliser a0 med diagonalt motsatt element i neste til neste kolonne (dvs. a5), trekker dette fra produktet av a1 og a4 (der a4 er diagonalt motsatt element i neste til neste kolonne) og deler så resultatet slik at det blir med a1. Matematisk skriver vi det andre elementet som
På samme måte kan vi beregne alle elementene i den tredje raden.
(d) Elementene i den fjerde raden kan beregnes ved å bruke følgende prosedyre:
Første element : Multipliser b1 med diagonalt motsatt element i neste kolonne (dvs. a3), trekker dette fra produktet av a1 og b2 (der b2 er diagonalt motsatt element i neste kolonne) og deler så resultatet slik at det blir med b1. Matematisk skriver vi det første elementet som
(2) Andre element : Multipliser b1 med diagonalt motsatt element i neste til neste kolonne (dvs. a5), trekker dette fra produktet av a1 og b3 (der b3 er diagonalt motsatt element i neste til neste kolonne) og deler så resultatet slik at det blir med a1. Matematisk skriver vi det andre elementet som
På samme måte kan vi beregne alle elementene i den fjerde raden.
På samme måte kan vi beregne alle elementene i alle radene.
Stabilitetskriteriet er at hvis alle elementene i den første kolonnen er positive, vil systemet være stabil. Hvis noen av dem er negative, vil systemet være ustabil.
Nå er det noen spesielle tilfeller relatert til Routh-stabilitetskriteriet som diskuteres nedenfor:
Tilfelle én: Hvis det første elementet i noen rad i tabellen er null, mens resten av raden har minst et ikkenull-element. I dette tilfellet vil vi anta en veldig liten verdi (ε) som nærmer seg null i stedet for null. Ved å erstatte null med (ε) vil vi beregne alle elementene i Routh-tabellen.
Etter å ha beregnet alle elementene, vil vi sette grenseverdien for hvert element som inneholder (ε). Når vi løser grenseverdien for hvert element, hvis vi får en positiv grenseverdi, vil vi si at det gitte systemet er stabil, ellers i alle andre tilfeller vil vi si at det gitte systemet er ustabil.
Tilfelle to : Når alle elementene i noen rad i Routh-tabellen er null. I dette tilfellet kan vi si at systemet har symptomer på marginal stabilitet. La oss først forstå den fysiske betydningen av å ha alle elementene null i noen rad.
Den fysiske betydningen er at det er symmetrisk plasserte røtter i den karakteristiske ligningen i s-planen. Nå, for å finne ut om systemet er stabil i dette tilfellet, vil vi først finne hjelpsligningen. Hjelpsligningen kan dannes ved å bruke elementene i raden rett over raden med nuller i Routh-tabellen. Etter å ha funnet hjelpsligningen, vil vi derivere hjelpsligningen for å få elementene i nullraden.
Hvis det ikke er noen fortegnsskifte i den nye Routh-tabellen dannet ved hjelp av hjelpsligningen, vil vi i dette tilfellet si at det gitte systemet er begrenset stabil. I alle andre tilfeller vil vi si at det gitte systemet er ustabil.
