Rūta Hurvica stabilitātes kritērijs

Routh Hurwitz stabilitātes kritērija definīcija

Tas ir metode sistēmas stabilitātes noteikšanai, izmantojot karakteristisko vienādojumu.

Hurwitz kritērijs

Izmantojot karakteristisko vienādojumu, mēs varam izveidot vairākus Hurwitz determinantus, lai noteiktu sistēmas stabilitāti. Sistēmas karakteristiskais vienādojums ir definēts šādi:

Ir n determinantu n-tās kārtas karakteristikam vienādojumam.

Šeit ir norādīts, kā izveidot determinantus no karakteristikā vienādojuma koeficientiem. Sekojiet šiem soļiem k-tās kārtas karakteristikam vienādojumam:

Pirmā determinanta : Šī determinanta vērtība ir dota ar |a1|, kur a1 ir sn-1 koeficients karakteristikā vienādojumā.

Otrā determinanta : Šī determinanta vērtība ir dota ar

Šeit katrā rindā elementu skaits atbilst determinanta numuram, un šeit determinanta numurs ir divi. Pirmā rinda sastāv no pirmajiem diviem nepāra koeficientiem, otrā rinda sastāv no pirmajiem diviem pāra koeficientiem.

Trešā determinanta : Šī determinanta vērtība ir dota ar

Šeit katrā rindā elementu skaits atbilst determinanta numuram, un šeit determinanta numurs ir trīs. Pirmā rinda sastāv no pirmajiem trim nepāra koeficientiem, otrā rinda sastāv no pirmajiem trim pāra koeficientiem, un trešā rinda sastāv no pirmo elementu kā nulle un pārējie divi elementi kā pirmie divi nepāra koeficienti.

Četrtā determinanta: Šī determinanta vērtība ir dota ar,

Šeit katrā rindā elementu skaits atbilst determinanta numuram, un šeit determinanta numurs ir četri. Pirmā rinda sastāv no pirmajiem četriem koeficientiem, otrā rinda sastāv no pirmajiem četriem pāra koeficientiem, trešā rinda sastāv no pirmo elementu kā nulle un pārējie trīs elementi kā pirmie trīs nepāra koeficienti, ceturtā rinda sastāv no pirmo elementu kā nulle un pārējie trīs elementi kā pirmie trīs pāra koeficienti.

Sekojoši tādam pašam procedūrai, mēs varam generalizēt determinanta veidošanu. Determinanta vispārīgā forma ir norādīta zemāk:

Lai pārbaudītu sistēmas stabilitāti, aprēķiniet katra determinanta vērtību. Sistēma ir stabila, ja katrs determinants ir pozitīvs. Ja kaut viens determinants nav pozitīvs, sistēma nav stabila.

Routh stabilitātes kritērijs

Šis kritērijs ir arī zināms kā modificēts Hurwitz stabilitātes kritērijs sistēmai. Mēs pētīsim šo kritēriju divās daļās. Pirmā daļa ietvers nepieciešamo nosacījumu sistēmas stabilitātei, bet otrā daļa ietvers pietiekamu nosacījumu sistēmas stabilitātei. Vēlreiz apsvērsim sistēmas karakteristikā vienādojumu kā

1)     Pirmais (nepieciešamais nosacījums sistēmas stabilitātei): Šajā daļā mums ir divi nosacījumi, kas minēti zemāk:

• Visi karakteristikā vienādojuma koeficienti jābūt pozitīviem un reāliem.

• Visi karakteristikā vienādojuma koeficienti jābūt nenulles.

2)     Otrais (pietiekamais nosacījums sistēmas stabilitātei): Lūk, vispirms konstruējam Routh tabulu. Lai konstruētu Routh tabulu, sekot šiem soļiem:

Pirmā rinda sastāvēs no visiem pāra termiņiem karakteristikā vienādojumā. Izkārtojiet tos no pirmā (pāra termiņa) līdz pēdējam (pāra termiņam). Pirmā rinda ir uzrakstīta zemāk: a0 a2 a4 a6…………

Otrā rinda sastāvēs no visiem nepāra termiņiem karakteristikā vienādojumā. Izkārtojiet tos no pirmā (nepāra termiņa) līdz pēdējam (nepāra termiņam). Otrā rinda ir uzrakstīta zemāk: a1 a3 a5 a7………..

Trešās rindas elementus var aprēķināt šādi:

Pirmā elements : Reiziniet a0 ar diagonāli pretējo elementu nākamajā kolonnā (t.i., a3), tad atņemiet šo no a1 un a2 reizinājuma (kur a2 ir diagonāli pretējais elements nākamajā kolonnā) un beidzot rezultātu, ko iegūstat, daliet ar a1. Matemātiski mēs rakstām pirmo elementu

Otrs elements : Reiziniet a0 ar diagonāli pretējo elementu nākamajā kolonnā (t.i., a5), tad atņemiet šo no a1 un a4 reizinājuma (kur a4 ir diagonāli pretējais elements nākamajā kolonnā) un beidzot rezultātu, ko iegūstat, daliet ar a1. Matemātiski mēs rakstām otro elementu

Līdzīgi mēs varam aprēķināt visus trešās rindas elementus.

(d) Ceturto rindas elementus var aprēķināt, izmantojot šādu procedūru:

Pirmā elements : Reiziniet b1 ar diagonāli pretējo elementu nākamajā kolonnā (t.i., a3), tad atņemiet šo no a1 un b2 reizinājuma (kur b2 ir diagonāli pretējais elements nākamajā kolonnā) un beidzot rezultātu, ko iegūstat, daliet ar b1. Matemātiski mēs rakstām pirmo elementu

 (2) Otrs elements : Reiziniet b1 ar diagonāli pretējo elementu nākamajā kolonnā (t.i., a5), tad atņemiet šo no a1 un b3 reizinājuma (kur b3 ir diagonāli pretējais elements nākamajā kolonnā) un beidzot rezultātu, ko iegūstat, daliet ar a1. Matemātiski mēs rakstām otro elementu

Līdzīgi mēs varam aprēķināt visus ceturto rindas elementus.

Līdzīgi mēs varam aprēķināt visu rindu elementus.

Stabilitātes kritērijs, ja pirmās kolonnas visi elementi ir pozitīvi, tad sistēma būs stabila. Tomēr, ja kaut viens no tiem ir negatīvs, sistēma būs nestabila.

Tagad ir daži īpaši gadījumi, kas saistīti ar Routh stabilitātes kritēriju, par kuriem runā zemāk:

Gadījums pirmais: Ja kādas rindas pirmā vērtība ir nulle, bet pārējā rinda satur vismaz vienu nenulles vērtību. Šajā gadījumā mēs pieņemsim ļoti mazu vērtību (ε), kas tendē uz nulli aizstājot nulli. Aizstājot nulli ar (ε), mēs aprēķināsim visus Routh tabulas elementus. 

Aprēķināt visus elementus, mēs piemērosim robežu katram elementam, kas satur (ε). Atrisinot robežu katram elementam, ja mēs iegūsim pozitīvu robežvērtību, mēs teiksime, ka dotā sistēma ir stabila, citādi visos citos gadījumos mēs teiksime, ka dotā sistēma nav stabila.

Gadījums otrs : Ja Routh tabulas kādas rindas visi elementi ir nulli. Šajā gadījumā mēs varam teikt, ka sistēmai ir marginālas stabilitātes simptomi. Lūk, vispirms sapratīsim fizisko nozīmi, ka kādas rindas visi elementi ir nulli. 

Fiziskā nozīme ir, ka s plaknē ir simetriski novietoti karakteristikā vienādojuma saknes.Lai šajā gadījumā noteiktu stabilitāti, mēs vispirms atrisināsim palīgvienādojumu. Palīgvienādojumu var izveidot, izmantojot Routh tabulas rindas elementus, kas atrodas virs nulles rindas. Atrisināt palīgvienādojumu, lai iegūtu nulles rindas elementus. 

Ja jaunā Routh tabulā, kas izveidota, izmantojot palīgvienādojumu, nav zīmes maiņas, tad šajā gadījumā mēs teiksime, ka dotā sistēma ir ierobežota stabila. Savukārt visos citos gadījumos mēs teiksime, ka dotā sistēma ir nestabila.