Kriterij stabilnosti Routh-Hurwitz

Definicija Routh-Hurwitzovog kriterija stabilnosti

To je metoda za određivanje stabilnosti sustava pomoću karakteristične jednadžbe.

Hurwitzov kriterij

Koristeći karakterističnu jednadžbu, možemo stvoriti nekoliko Hurwitzovih determinanata kako bismo odredili stabilnost sustava. Karakteristična jednadžba sustava definirana je na sljedeći način:

Postoji n determinanata za n-ti redni karakterističnu jednadžbu.

Evo kako pisati determinante iz koeficijenata karakteristične jednadžbe. Slijedite ove korake za k-ti redni karakterističnu jednadžbu:

Determinanta jedan : Vrijednost ove determinante dana je s |a1| gdje je a1 koeficijent sn-1 u karakterističnoj jednadžbi.

Determinanta dva : Vrijednost ove determinante dana je s

Broj elemenata u svakom retku jednak je broju determinante, a ovdje imamo determinantu broj dva. Prvi redak sastoji se od prvih dvaju neparnih koeficijenata, a drugi redak sastoji se od prvih dvaju parnih koeficijenata.

Determinanta tri : Vrijednost ove determinante dana je s

Broj elemenata u svakom retku jednak je broju determinante, a ovdje imamo determinantu broj tri. Prvi redak sastoji se od prvih tri neparnih koeficijenata, drugi redak sastoji se od prvih tri parnih koeficijenata, a treći redak sastoji se od prvog elementa kao nula i ostala dva elementa kao prva dva neparna koeficijenta.

Determinanta četiri: Vrijednost ove determinante dana je s,

Broj elemenata u svakom retku jednak je broju determinante, a ovdje imamo determinantu broj četiri. Prvi redak sastoji se od prvih četiri koeficijenata, drugi redak sastoji se od prvih četiri parnih koeficijenata, treći redak sastoji se od prvog elementa kao nula i ostala tri elementa kao prva tri neparna koeficijenta, a četvrti redak sastoji se od prvog elementa kao nula i ostala tri elementa kao prva tri parna koeficijenta.

Slijedeći isti postupak, možemo generalizirati formiranje determinante. Opća forma determinante dana je ispod:

Da biste provjerili stabilnost sustava, izračunajte vrijednost svake determinante. Sustav je stabilan ako je svaka determinanta pozitivna. Ako je bilo koja determinanta negativna, sustav nije stabilan.

Routhov kriterij stabilnosti

Ovaj kriterij poznat je i kao modificirani Hurwitzov kriterij stabilnosti sustava. Ovaj kriterij proučavat ćemo u dvije dijelove. Prvi dio pokrivat će nužne uvjete za stabilnost sustava, a drugi dio pokrivat će dovoljne uvjete za stabilnost sustava. Ponovo promotrimo karakterističnu jednadžbu sustava kao

1)     Prvi dio (nužni uvjeti za stabilnost sustava): U ovome imamo dva uvjeta koji su navedeni ispod:

• Svi koeficijenti karakteristične jednadžbe trebaju biti pozitivni i realni.

• Svi koeficijenti karakteristične jednadžbe trebaju biti različiti od nule.

2)     Drugi dio (dovoljni uvjeti za stabilnost sustava): Najprije konstruirajmo Routhovu tablicu. Da biste konstruirali Routhovu tablicu, slijedite ove korake:

Prvi redak sastoji se od svih parnih članova karakteristične jednadžbe. Poredajte ih od prvog (parnog člana) do zadnjeg (parnog člana). Prvi redak zapisan je ispod: a0 a2 a4 a6…………

Drugi redak sastoji se od svih neparnih članova karakteristične jednadžbe. Poredajte ih od prvog (neparnog člana) do zadnjeg (neparnog člana). Drugi redak zapisan je ispod: a1 a3 a5 a7………..

Elementi trećeg retka mogu se izračunati na sljedeći način:

Prvi element : Pomnožite a0 s dijagonalno nasuprotnim elementom sljedećeg stupca (tj. a3), zatim oduzmite to od produkta a1 i a2 (gdje je a2 dijagonalno nasuprotni element sljedećeg stupca) i zatim finalno podijelite rezultat tako dobiven s a1. Matematički zapisujemo prvi element

Drugi element : Pomnožite a0 s dijagonalno nasuprotnim elementom sljedećeg stupca (tj. a5), zatim oduzmite to od produkta a1 i a4 (gdje je a4 dijagonalno nasuprotni element sljedećeg stupca) i zatim finalno podijelite rezultat tako dobiven s a1. Matematički zapisujemo drugi element

Slično, možemo izračunati sve elemente trećeg retka.

(d) Elementi četvrtog retka mogu se izračunati koristeći sljedeći postupak:

Prvi element : Pomnožite b1 s dijagonalno nasuprotnim elementom sljedećeg stupca (tj. a3), zatim oduzmite to od produkta a1 i b2 (gdje je b2 dijagonalno nasuprotni element sljedećeg stupca) i zatim finalno podijelite rezultat tako dobiven s b1. Matematički zapisujemo prvi element

 (2) Drugi element : Pomnožite b1 s dijagonalno nasuprotnim elementom sljedećeg stupca (tj. a5), zatim oduzmite to od produkta a1 i b3 (gdje je b3 dijagonalno nasuprotni element sljedećeg stupca) i zatim finalno podijelite rezultat tako dobiven s a1. Matematički zapisujemo drugi element

Slično, možemo izračunati sve elemente četvrtog retka.

Slično, možemo izračunati sve elemente svih redaka.

Kriteriji stabilnosti: ako su svi elementi prvog stupca pozitivni, tada će sustav biti stabilan. Međutim, ako je bilo koji od njih negativan, sustav neće biti stabilan.

Sada postoje neki posebni slučajevi vezani uz Routhov kriterij stabilnosti, koji su obrađeni ispod:

Slučaj jedan: Ako je prvi član u bilo kojem retku tablice nula, dok ima barem jedan nenula član u tom retku. U ovom slučaju pretpostavit ćemo vrlo malu vrijednost (ε) koja teži nuli umjesto nule. Zamjenom nule s (ε) izračunat ćemo sve elemente Routhove tablice. 

Nakon izračuna svih elemenata, primijenit ćemo limes na svaki element koji sadrži (ε). Riješavanjem limesa na svakom elementu, ako dobijemo pozitivnu granicnu vrijednost, reći ćemo da je dati sustav stabilan, inače ćemo reći da je dati sustav nestabilan.

Slučaj drugi : Kada su svi elementi bilo kojeg retka Routhove tablice nule. U ovom slučaju možemo reći da sustav ima simptome marginalne stabilnosti. Najprije razumijemo fizičko značenje imanja svih elemenata nula u bilo kojem retku. 

Fizičko značenje je da su simetrično raspoređene korijeni karakteristične jednadžbe u s-ravnini.Sada, kako bismo utvrdili stabilnost u ovom slučaju, najprije pronađimo pomoćnu jednadžbu. Pomoćnu jednadžbu možemo formirati koristeći elemente retka direktno iznad retka nula u Routhovoj tablici. Nakon pronalaska pomoćne jednadžbe, diferencirat ćemo pomoćnu jednadžbu kako bismo dobili elemente retka nula. 

Ako nema promjene predznaka u novoj Routhovoj tablici formiranoj koristeći pomoćnu jednadžbu, tada kažemo da je dati sustav ograničeno stabilan. U svim ostalim slučajevima kažemo da je dati sustav nestabilan.