Tiêu chuẩn ổn định Routh Hurwitz

Định nghĩa Tiêu chuẩn ổn định Routh Hurwitz

Đây là một phương pháp để xác định sự ổn định của hệ thống sử dụng phương trình đặc trưng.

Tiêu chuẩn Hurwitz

Sử dụng phương trình đặc trưng, chúng ta có thể tạo ra nhiều định thức Hurwitz để xác định sự ổn định của hệ thống. Phương trình đặc trưng của hệ thống được định nghĩa như sau:

Có n định thức cho phương trình đặc trưng bậc n.

Đây là cách viết định thức từ các hệ số của phương trình đặc trưng. Thực hiện theo các bước sau cho phương trình đặc trưng bậc k:

Định thức thứ nhất : Giá trị của định thức này được cho bởi |a1|, trong đó a1 là hệ số của sn-1 trong phương trình đặc trưng.

Định thức thứ hai : Giá trị của định thức này được cho bởi

Số lượng phần tử trong mỗi hàng bằng số định thức và ở đây số định thức là hai. Hàng đầu tiên bao gồm hai hệ số lẻ đầu tiên và hàng thứ hai bao gồm hai hệ số chẵn đầu tiên.

Định thức thứ ba : Giá trị của định thức này được cho bởi

Số lượng phần tử trong mỗi hàng bằng số định thức và ở đây số định thức là ba. Hàng đầu tiên bao gồm ba hệ số lẻ đầu tiên, hàng thứ hai bao gồm ba hệ số chẵn đầu tiên và hàng thứ ba bao gồm phần tử đầu tiên là không và hai phần tử còn lại là hai hệ số lẻ đầu tiên.

Định thức thứ tư: Giá trị của định thức này được cho bởi,

Số lượng phần tử trong mỗi hàng bằng số định thức và ở đây số định thức là bốn. Hàng đầu tiên bao gồm bốn hệ số đầu tiên, hàng thứ hai bao gồm bốn hệ số chẵn đầu tiên, hàng thứ ba bao gồm phần tử đầu tiên là không và ba phần tử còn lại là ba hệ số lẻ đầu tiên, hàng thứ tư bao gồm phần tử đầu tiên là không và ba phần tử còn lại là ba hệ số chẵn đầu tiên.

Bằng cách tuân theo quy trình tương tự, chúng ta có thể tổng quát hóa việc hình thành định thức. Dạng tổng quát của định thức được đưa ra dưới đây:

Để kiểm tra sự ổn định của hệ thống, tính giá trị của mỗi định thức. Hệ thống ổn định nếu mỗi định thức là dương. Nếu bất kỳ định thức nào không dương, hệ thống không ổn định.

Tiêu chuẩn ổn định Routh

Tiêu chuẩn này cũng được biết đến như là tiêu chuẩn Hurwitz đã được sửa đổi về sự ổn định của hệ thống. Chúng ta sẽ nghiên cứu tiêu chuẩn này trong hai phần. Phần một sẽ bao gồm điều kiện cần thiết cho sự ổn định của hệ thống và phần hai sẽ bao gồm điều kiện đủ cho sự ổn định của hệ thống. Hãy xem xét lại phương trình đặc trưng của hệ thống như sau

1)     Phần một (điều kiện cần thiết cho sự ổn định của hệ thống): Trong phần này, chúng ta có hai điều kiện được viết dưới đây:

• Tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải là số dương và thực.

• Tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác không.

2)     Phần hai (điều kiện đủ cho sự ổn định của hệ thống): Trước hết, hãy xây dựng mảng Routh. Để xây dựng mảng Routh, hãy làm theo các bước sau:

Hàng đầu tiên sẽ bao gồm tất cả các số hạng chẵn của phương trình đặc trưng. Sắp xếp chúng từ số hạng chẵn đầu tiên đến số hạng chẵn cuối cùng. Hàng đầu tiên được viết dưới đây: a0 a2 a4 a6…………

Hàng thứ hai sẽ bao gồm tất cả các số hạng lẻ của phương trình đặc trưng. Sắp xếp chúng từ số hạng lẻ đầu tiên đến số hạng lẻ cuối cùng. Hàng thứ hai được viết dưới đây: a1 a3 a5 a7………..

Các phần tử của hàng thứ ba có thể được tính như sau:

Phần tử đầu tiên : Nhân a0 với phần tử đối diện chéo của cột kế tiếp (tức là a3) sau đó trừ đi tích của a1 và a2 (trong đó a2 là phần tử đối diện chéo của cột kế tiếp) và cuối cùng chia kết quả thu được cho a1. Toán học, chúng ta viết phần tử đầu tiên

Phần tử thứ hai : Nhân a0 với phần tử đối diện chéo của cột kế tiếp (tức là a5) sau đó trừ đi tích của a1 và a4 (trong đó, a4 là phần tử đối diện chéo của cột kế tiếp) và cuối cùng chia kết quả thu được cho a1. Toán học, chúng ta viết phần tử thứ hai

Tương tự, chúng ta có thể tính tất cả các phần tử của hàng thứ ba.

(d) Các phần tử của hàng thứ tư có thể được tính bằng cách sử dụng quy trình sau:

Phần tử đầu tiên : Nhân b1 với phần tử đối diện chéo của cột kế tiếp (tức là a3) sau đó trừ đi tích của a1 và b2 (trong đó, b2 là phần tử đối diện chéo của cột kế tiếp) và cuối cùng chia kết quả thu được cho b1. Toán học, chúng ta viết phần tử đầu tiên

 (2) Phần tử thứ hai : Nhân b1 với phần tử đối diện chéo của cột kế tiếp (tức là a5) sau đó trừ đi tích của a1 và b3 (trong đó, b3 là phần tử đối diện chéo của cột kế tiếp) và cuối cùng chia kết quả thu được cho a1. Toán học, chúng ta viết phần tử thứ hai

Tương tự, chúng ta có thể tính tất cả các phần tử của hàng thứ tư.

Tương tự, chúng ta có thể tính tất cả các phần tử của tất cả các hàng.

Tiêu chuẩn ổn định nếu tất cả các phần tử của cột đầu tiên đều dương thì hệ thống sẽ ổn định. Tuy nhiên, nếu có bất kỳ phần tử nào âm, hệ thống sẽ không ổn định.

Nay có một số trường hợp đặc biệt liên quan đến Tiêu chuẩn ổn định Routh được thảo luận dưới đây:

Trường hợp một: Nếu số hạng đầu tiên trong bất kỳ hàng nào của mảng bằng không trong khi phần còn lại của hàng có ít nhất một số hạng khác không.Trong trường hợp này, chúng ta sẽ giả sử một giá trị rất nhỏ (ε) đang tiến tới không thay vì không. Bằng cách thay thế không bằng (ε), chúng ta sẽ tính toán tất cả các phần tử của mảng Routh. 

Sau khi tính toán tất cả các phần tử, chúng ta sẽ áp dụng giới hạn tại mỗi phần tử chứa (ε). Khi giải giới hạn tại mỗi phần tử, nếu chúng ta nhận được giá trị giới hạn dương, chúng ta sẽ nói rằng hệ thống đã cho là ổn định, ngược lại, trong tất cả các trường hợp khác, chúng ta sẽ nói rằng hệ thống đã cho là không ổn định.

Trường hợp thứ hai : Khi tất cả các phần tử của bất kỳ hàng nào trong mảng Routh đều bằng không. Trong trường hợp này, chúng ta có thể nói rằng hệ thống có dấu hiệu của sự ổn định biên. Hãy trước tiên hiểu ý nghĩa vật lý của việc tất cả các phần tử bằng không của bất kỳ hàng nào. 

Ý nghĩa vật lý là có các nghiệm đối xứng của phương trình đặc trưng trong mặt phẳng s.Bây giờ, để tìm sự ổn định trong trường hợp này, chúng ta sẽ trước tiên tìm phương trình phụ trợ. Phương trình phụ trợ có thể được tạo ra bằng cách sử dụng các phần tử của hàng ngay trên hàng của các số không trong mảng Routh. Sau khi tìm được phương trình phụ trợ, chúng ta sẽ lấy đạo hàm của phương trình phụ trợ để thu được các phần tử của hàng số không. 

Nếu không có sự thay đổi dấu trong mảng Routh mới được tạo bằng phương trình phụ trợ, thì trong trường hợp này, chúng ta nói rằng hệ thống đã cho là ổn định biên. Trong tất cả các trường hợp khác, chúng ta sẽ nói rằng hệ thống đã cho là không ổn định.