రౌత్ హర్విట్ స్థిరతా మానదండము

రౌత్ హర్విట్స్ స్థిరత మానదండము నిర్వచనం

ఇది వైశిష్ట్య సమీకరణం ఉపయోగించి వ్యవస్థా స్థిరతను నిర్ధారించడానికి ఒక పద్ధతి.

హర్విట్స్ మానదండము

వైశిష్ట్య సమీకరణం ఉపయోగించి, వ్యవస్థా స్థిరతను నిర్ధారించడానికి అనేక హర్విట్స్ నిర్ధారకాలను రచించవచ్చు. వ్యవస్థా వైశిష్ట్య సమీకరణం ఈ విధంగా నిర్వచించబడుతుంది:

nth క్రమ వైశిష్ట్య సమీకరణం కోసం n నిర్ధారకాలు ఉంటాయ.

క్రింది దశలను అనుసరించి kth క్రమ వైశిష్ట్య సమీకరణం యొక్క గుణకాల నుండి నిర్ధారకాలను ఎలా రాయాలో చెప్పబడుతుంది:

నిర్ధారకం ఒకటి : ఈ నిర్ధారకం విలువ |a1| ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇక్కడ a1 అనేది వైశిష్ట్య సమీకరణంలో sn-1 యొక్క గుణకం.

నిర్ధారకం రెండు : ఈ నిర్ధారకం విలువ

ఇక్కడ ప్రతి వరిలోని మూలకాల సంఖ్య నిర్ధారక సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది, మరియు మనకు ఇక్కడ నిర్ధారక సంఖ్య రెండు. మొదటి వరి మొదటి రెండు బేసి గుణకాలను కలిగి ఉంటుంది, రెండవ వరి మొదటి రెండు సరి గుణకాలను కలిగి ఉంటుంది.

నిర్ధారకం మూడు : ఈ నిర్ధారకం విలువ

ఇక్కడ ప్రతి వరిలోని మూలకాల సంఖ్య నిర్ధారక సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది, మరియు మనకు ఇక్కడ నిర్ధారక సంఖ్య మూడు. మొదటి వరి మొదటి మూడు బేసి గుణకాలను, రెండవ వరి మొదటి మూడు సరి గుణకాలను, మూడవ వరి మొదటి మూలకం సున్నా మరియు మిగిలిన రెండు మూలకాలు మొదటి రెండు బేసి గుణకాలను కలిగి ఉంటుంది.

నిర్ధారకం నాలుగు: ఈ నిర్ధారకం విలువ,

ఇక్కడ ప్రతి వరిలోని మూలకాల సంఖ్య నిర్ధారక సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటుంది, మరియు మనకు ఇక్కడ నిర్ధారక సంఖ్య నాలుగు. మొదటి వరి మొదటి నాలుగు గుణకాలను, రెండవ వరి మొదటి నాలుగు సరి గుణకాలను, మూడవ వరి మొదటి మూలకం సున్నా మరియు మిగిలిన మూడు మూలకాలు మొదటి మూడు బేసి గుణకాలను, నాల్గవ వరి మొదటి మూలకం సున్నా మరియు మిగిలిన మూడు మూలకాలు మొదటి మూడు సరి గుణకాలను కలిగి ఉంటుంది.

ఈ దశలను అనుసరించి నిర్ధారక రూపీకరణను జనరలైజ్ చేయవచ్చు. నిర్ధారక సామాన్య రూపం క్రింది విధంగా ఇవ్వబడుతుంది:

వ్యవస్థా స్థిరతను తనిఖీ చేయడానికి, ప్రతి నిర్ధారకం విలువను లెక్కించండి. ప్రతి నిర్ధారకం ధనాత్మకంగా ఉంటే, వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉంటుంది. ఏదైనా నిర్ధారకం ధనాత్మకం కాకపోతే, వ్యవస్థ స్థిరం కాదు.

రౌత్ స్థిరత మానదండము

ఈ మానదండము వ్యవస్థా స్థిరతను నిర్ధారించడానికి హర్విట్స్ మానదండము మార్పు వంటిది. మనం ఈ మానదండమును రెండు భాగాలలో అధ్యయనం చేసుకుందాం. మొదటి భాగం వ్యవస్థా స్థిరతకు అవసరమైన పరిస్థితిని, రెండవ భాగం వ్యవస్థా స్థిరతకు సర్వతోకరం పరిస్థితిని కవర్ చేసుకుందాం. మళ్ళీ వ్యవస్థా వైశిష్ట్య సమీకరణాన్ని పరిగణించండి

1)     మొదటి భాగం (వ్యవస్థా స్థిరతకు అవసరమైన పరిస్థితి): ఇందులో రెండు పరిస్థితులు ఇవ్వబడ్డాయి:

• వైశిష్ట్య సమీకరణంలోని అన్ని గుణకాలు ధనాత్మకం మరియు వాస్తవం ఉండాలి.

• వైశిష్ట్య సమీకరణంలోని అన్ని గుణకాలు సున్నాకంటే ఎక్కువ ఉండాలి.

2)     రెండవ భాగం (వ్యవస్థా స్థిరతకు సర్వతోకరం పరిస్థితి): ముందుగా రౌత్ అమరికను నిర్మించండి. రౌత్ అమరికను నిర్మించడానికి ఈ దశలను అనుసరించండి:

మొదటి వరి వైశిష్ట్య సమీకరణంలోని అన్ని సరి పదాలను కలిగి ఉంటుంది. వాటిని మొదటి (సరి పదం) నుండి చివరి (సరి పదం) వరకు అమర్చండి. మొదటి వరి a0 a2 a4 a6………… అని రాయబడుతుంది.

రెండవ వరి వైశిష్ట్య సమీకరణంలోని అన్ని బేసి పదాలను కలిగి ఉంటుంది. వాటిని మొదటి (బేసి పదం) నుండి చివరి (బేసి పదం) వరకు అమర్చండి. మొదటి వరి a1 a3 a5 a7……….. అని రాయబడుతుంది.

మూడవ వరి మూలకాలను ఈ విధంగా లెక్కించవచ్చు:

మొదటి మూలకం : a0 ని తదనంతర వరిలోని వికర్ణానంతర మూలకం (i.e. a3) తో గుణించి, దానిని a1 మరియు a2 (ఇక్కడ a2 తదనంతర వరిలోని వికర్ణానంతర మూలకం) ల లబ్దం నుండి తీసివేయండి, మరియు అయితే a1 తో లబ్దం విభజించండి. గణితశాస్త్రానికి మనం మొదటి మూలకంగా రాయబడుతుంది

రెండవ మూలకం : a0 ని తదనంతర వరిలోని వికర్ణానంతర మూలకం (i.e. a5) తో గుణించి, దానిని a1 మరియు a4 (ఇక్కడ, a4 తదనంతర వరిలోని వికర్ణానంతర మూలకం) ల లబ్దం నుండి తీసివేయండి, మరియు అయితే a1 తో లబ్దం విభజించండి. గణితశాస్త్రానికి మనం రెండవ మూలకంగా రాయబడుతుంది

అదే విధంగా, మూడవ వరి యొక్క అన్ని మూలకాలను లెక్కించవచ్చు.

(d) నాల్గవ వరి మూలకాలను ఈ క్రింది విధంగా లెక్కించవచ్చు: