معیار پایداری روث هریویتز

تعریف معیار پایداری روت-هرویتز

این روشی است برای تعیین پایداری سیستم با استفاده از معادله مشخصه.

معیار هرویتز

با استفاده از معادله مشخصه، می‌توانیم چندین دترمینان هرویتز را به منظور تعیین پایداری سیستم ایجاد کنیم. معادله مشخصه سیستم به صورت زیر تعریف می‌شود:

برای معادله مشخصه مرتبه nام، n دترمینان وجود دارد.

اینجا نحوه نوشتن دترمینان‌ها از ضرایب معادله مشخصه است. برای معادله مشخصه مرتبه kام، مراحل زیر را دنبال کنید:

دترمینان اول : مقدار این دترمینان برابر |a1| است که در آن a1 ضریب sn-1 در معادله مشخصه است.

دترمینان دوم : مقدار این دترمینان برابر است با

در اینجا تعداد عناصر در هر ردیف برابر با شماره دترمینان است و ما در اینجا شماره دترمینان دو است. ردیف اول شامل دو ضریب فرد اول است و ردیف دوم شامل دو ضریب زوج اول است.

دترمینان سوم : مقدار این دترمینان برابر است با

در اینجا تعداد عناصر در هر ردیف برابر با شماره دترمینان است و ما در اینجا شماره دترمینان سه است. ردیف اول شامل سه ضریب فرد اول است، ردیف دوم شامل سه ضریب زوج اول است و ردیف سوم شامل عنصر اول صفر و دو عنصر بعدی به عنوان دو ضریب فرد اول است.

دترمینان چهارم : مقدار این دترمینان برابر است با

در اینجا تعداد عناصر در هر ردیف برابر با شماره دترمینان است و ما در اینجا شماره دترمینان چهار است. ردیف اول شامل چهار ضریب اول است، ردیف دوم شامل چهار ضریب زوج اول است، ردیف سوم شامل عنصر اول صفر و سه عنصر بعدی به عنوان سه ضریب فرد اول است و ردیف چهارم شامل عنصر اول صفر و سه عنصر بعدی به عنوان سه ضریب زوج اول است.

با دنبال کردن همین روش، می‌توانیم تشکیل دترمینان را عمومی کنیم. فرم عمومی دترمینان به صورت زیر است:

برای بررسی پایداری سیستم، مقدار هر دترمینان را محاسبه کنید. سیستم پایدار است اگر هر دترمینان مثبت باشد. اگر هر دترمینانی مثبت نباشد، سیستم پایدار نیست.

معیار پایداری روت

این معیار همچنین به عنوان معیار هرویتز اصلاح شده برای پایداری سیستم شناخته می‌شود. ما این معیار را در دو بخش مطالعه خواهیم کرد. بخش اول شامل شرط لازم برای پایداری سیستم و بخش دوم شامل شرط کافی برای پایداری سیستم است. بیایید دوباره معادله مشخصه سیستم را در نظر بگیریم به صورت

1)     بخش اول (شرط لازم برای پایداری سیستم): در اینجا دو شرط داریم که در زیر آمده است:

• همه ضرایب معادله مشخصه باید مثبت و حقیقی باشند.

• همه ضرایب معادله مشخصه باید غیر صفر باشند.

2)     بخش دوم (شرط کافی برای پایداری سیستم): ابتدا جدول روت را ساخته خواهیم کرد. برای ساخت جدول روت، مراحل زیر را دنبال کنید:

ردیف اول شامل تمامی جملات زوج معادله مشخصه خواهد بود. آن‌ها را از اول (جمله زوج) تا آخر (جمله زوج) مرتب کنید. ردیف اول به صورت زیر نوشته می‌شود: a0 a2 a4 a6…………

ردیف دوم شامل تمامی جملات فرد معادله مشخصه خواهد بود. آن‌ها را از اول (جمله فرد) تا آخر (جمله فرد) مرتب کنید. ردیف دوم به صورت زیر نوشته می‌شود: a1 a3 a5 a7………..

عناصر ردیف سوم می‌توانند به صورت زیر محاسبه شوند:

عنصر اول : a0 را در عضو قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a3) ضرب کنید، سپس این حاصل را از حاصلضرب a1 و a2 (که a2 عضو قطری مقابل ستون بعدی است) کم کنید و سرانجام نتیجه به دست آمده را بر a1 تقسیم کنید. ریاضیاً این عنصر را به صورت زیر می‌نویسیم

عنصر دوم : a0 را در عضو قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a5) ضرب کنید، سپس این حاصل را از حاصلضرب a1 و a4 (که a4 عضو قطری مقابل ستون بعدی است) کم کنید و سرانجام نتیجه به دست آمده را بر a1 تقسیم کنید. ریاضیاً این عنصر را به صورت زیر می‌نویسیم

به همین ترتیب، می‌توانیم تمامی عناصر ردیف سوم را محاسبه کنیم.

(d) عناصر ردیف چهارم می‌توانند با استفاده از روش زیر محاسبه شوند:

عنصر اول : b1 را در عضو قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a3) ضرب کنید، سپس این حاصل را از حاصلضرب a1 و b2 (که b2 عضو قطری مقابل ستون بعدی است) کم کنید و سرانجام نتیجه به دست آمده را بر b1 تقسیم کنید. ریاضیاً این عنصر را به صورت زیر می‌نویسیم

 (2) عنصر دوم : b1 را در عضو قطری مقابل ستون بعدی (یعنی a5) ضرب کنید، سپس این حاصل را از حاصلضرب a1 و b3 (که b3 عضو قطری مقابل ستون بعدی است) کم کنید و سرانجام نتیجه به دست آمده را بر a1 تقسیم کنید. ریاضیاً این عنصر را به صورت زیر می‌نویسیم

به همین ترتیب، می‌توانیم تمامی عناصر ردیف چهارم را محاسبه کنیم.

به همین ترتیب، می‌توانیم تمامی عناصر تمامی ردیف‌ها را محاسبه کنیم.

معیار پایداری اگر تمامی عناصر ستون اول مثبت باشند، سیستم پایدار خواهد بود. اما اگر هر یک از آن‌ها منفی باشد، سیستم ناپایدار خواهد بود.

حالا برخی موارد خاص مرتبط با معیار پایداری روت وجود دارد که در زیر بحث می‌شوند:

حالت اول : اگر جمله اول در هر ردیفی از جدول صفر باشد در حالی که بقیه ردیف حداقل یک جمله غیر صفر داشته باشد. در این حالت ما یک مقدار بسیار کوچک (ε) را در نظر می‌گیریم که به صفر میل می‌کند به جای صفر. با جایگزینی صفر با (ε) تمامی عناصر جدول روت را محاسبه خواهیم کرد. 

پس از محاسبه تمامی عناصر، محدوده را در هر عنصر شامل (ε) اعمال می‌کنیم. با حل محدوده در هر عنصر اگر مقدار محدوده مثبت باشد، سیستم داده شده پایدار است، در غیر این صورت در تمامی شرایط دیگر می‌گوییم سیستم داده شده ناپایدار است.

حالت دوم : وقتی تمامی عناصر هر ردیف جدول روت صفر باشند. در این حالت می‌توانیم بگوییم سیستم علائم پایداری مرزی دارد. بیایید ابتدا معنای فیزیکی داشتن تمامی عناصر صفر در هر ردیف را درک کنیم. 

معنای فیزیکی این است که ریشه‌های متقارن معادله مشخصه در صفحه s وجود دارد. حال برای یافتن پایداری در این حالت، ابتدا معادله کمکی را پیدا می‌کنیم. معادله کمکی می‌تواند با استفاده از عناصر ردیف بالای ردیف صفر در جدول روت تشکیل شود. پس از یافتن معادله کمکی، آن را مشتق می‌گیریم تا عناصر ردیف صفر را به دست آوریم. 

اگر در جدول روت جدید تشکیل شده با استفاده از معادله کمکی هیچ تغییر علامتی وجود نداشته باشد، در این صورت می‌گوییم سیستم داده شده پایدار محدود است. در غیر این صورت می‌گوییم سیستم داده شده ناپایدار است.