Mwongozo wa Usalama wa Routh Hurwitz

Maelezo ya Kriteri ya Ustawi wa Routh Hurwitz

Ni njia ya kupata ustawi wa mfumo kutumia mlinganyo maalumu.

Kriteri ya Hurwitz

Tumia mlinganyo maalumu, tunaweza kujenga vifaaingilio vingine vya Hurwitz ili kupata ustawi wa mfumo. Mlinganyo maalumu wa mfumo unatumika kama ifuatavyo:

Kuna vifaaingilio vya n kwa mlinganyo maalumu wa aina ya n^th.

Hapa ni jinsi ya kutandaza vifaaingilio kutoka kwa sababu za mlinganyo maalumu. Fuata hatua hizi kwa mlinganyo maalumu wa aina ya kth:

Faaingilio moja :

Faaingilio mbili : Thau ya faaingilio hii inapatikana kwa

Hapa idadi ya vitu kila mstari ni sawa na nambari ya faaingilio na tuna faaingilio mbili hapa. Mstari wa kwanza una vitu vyote vya sababu vichache na mstari wa pili una vitu vyote vya sababu viwili vya kawaida.

Faaingilio tatu : Thau ya faaingilio hii inapatikana kwa

Hapa idadi ya vitu kila mstari ni sawa na nambari ya faaingilio na tuna faaingilio tatu hapa. Mstari wa kwanza una vitu vyote vya sababu vichache, mstari wa pili una vitu vyote vya sababu viwili vya kawaida na mstari wa tatu una vitu vyote vya sababu vichache.

Faaingilio nne: Thau ya faaingilio hii inapatikana kwa,

Hapa idadi ya vitu kila mstari ni sawa na nambari ya faaingilio na tuna faaingilio nne hapa. Mstari wa kwanza una vitu vyote vya sababu vichache, mstari wa pili una vitu vyote vya sababu viwili vya kawaida, mstari wa tatu una vitu vyote vya sababu vichache na mstari wa nne una vitu vyote vya sababu viwili vya kawaida.

Kutumia njia hiyo tu, tunaweza kusambaza faaingilio. Faaingilio kamili ni hapa chini:

Ili kupata ustawi wa mfumo, hisabu thau ya faaingilio kila moja. Mfumo unastahimili ikiwa faaingilio yoyote ni chanya. Ikiwa faaingilio yoyote si chanya, mfumo haujastahimili.

Kriteri ya Ustawi ya Routh

Kriteri hii inatafsiriwa kama kriteri ya Hurwitz iliyobadilishwa ya ustawi wa mfumo. Tutajadili kriteri hii katika sehemu mbili. Sehemu ya kwanza itakusudi masharti muhimu kwa ustawi wa mfumo na sehemu ya pili itakusudi masharti zinazokusaidia kwa ustawi wa mfumo. Tureje tu kulingana na mlinganyo maalumu wa mfumo kama

1)     Sehemu ya kwanza (masharti muhimu kwa ustawi wa mfumo): Hapa tuna masharti miwili zifuatazo:

• Sababu zote za mlinganyo maalumu zinapaswa kuwa chanya na halisi.

• Sababu zote za mlinganyo maalumu zinapaswa kuwa sio sifuri.

2)     Sehemu ya pili (masharti zinazokusaidia kwa ustawi wa mfumo): Tuanze kubuni msamba wa Routh. Ili kubuni msamba wa Routh fuata hatua hizi:

Mstari wa kwanza utakuwa na vitu vyote vya sababu vya kawaida vya mlinganyo maalumu. Weka wao kutoka kwa sababu ya kwanza (ya kawaida) hadi ya mwisho (ya kawaida). Mstari wa kwanza unandelekwa chini: a0 a2 a4 a6…………

Mstari wa pili utakuwa na vitu vyote vya sababu vya chache vya mlinganyo maalumu. Weka wao kutoka kwa sababu ya kwanza (ya chache) hadi ya mwisho (ya chache). Mstari wa pili unandelekwa chini: a1 a3 a5 a7………..

Vitu vya mstari wa tatu vinaweza kuhisabiki kama:

Vitumishi vya kwanza : Zidhi a0 na vitu vilivyovuma kwa diagonally katika mstari ufuatayo (yaani a3) basi toa hii kutoka kwa mfululizo wa a1 na a2 (ambapo a2 ni vitu vilivyovuma kwa diagonally katika mstari ufuatayo) basi hasa au gawa thamani hii imara kwa a1. Kihesabu tunaindi vitumishi vya kwanza

Vitumishi vya pili : Zidhi a0 na vitu vilivyovuma kwa diagonally katika mstari ufuatayo (yaani a5) basi toa hii kutoka kwa mfululizo wa a1 na a4 (ambapo, a4 ni vitu vilivyovuma kwa diagonally katika mstari ufuatayo) basi hasa au gawa thamani hii imara kwa a1. Kihesabu tunaindi vitumishi vya pili

Viwivu, tunaweza kuhisabiki vitu vyote vya mstari wa tatu.

(d) Vitu vya mstari wa nne vinaweza kuhisabiki kutumia njia ifuatavyo:

Vitumishi vya kwanza : Zidhi b 1 na vitu vilivyovuma kwa diagonally katika mstari ufuatayo (yaani a3) basi toa hii kutoka kwa mfululizo wa a1 na b2 (ambapo, b2 ni vitu vilivyovuma kwa diagonally katika mstari ufuatayo) basi hasa au gawa thamani hii imara kwa b1. Kihesabu tunaindi vitumishi vya kwanza

 (2) Vitumishi vya pili : Zidhi b1 na vitu vilivyovuma kwa diagonally katika mstari ufuatayo (yaani a5) basi toa hii kutoka kwa mfululizo wa a1 na b3 (ambapo, b3 ni vitu vilivyovuma kwa diagonally katika mstari ufuatayo) basi hasa au gawa thamani hii imara kwa a1. Kihesabu tunaindi vitumishi vya pili

Viwivu, tunaweza kuhisabiki vitu vyote vya mstari wa nne.

Viwivu, tunaweza kuhisabiki vitu vyote vya mstari vyote.

Masharti za ustawi ikiwa vitu vyote vya mstari wa kwanza ni chanya basi mfumo utastahimili. Lakini ikiwa moja yoyote yake ni hasi, mfumo haujastahimili.

Sasa kuna mambo makubwa yanayohusiana na Masharti ya Ustawi ya Routh zinazotathmini hapa chini:

Kitu cha kwanza: Ikiwa kitu cha kwanza katika mstari wowote wa msamba unapokuwa sifuri wakati vitu vingine vya mstari wanapokuwa na chochote kingine sio sifuri. Katika hali hii tutachagua thamani ndogo sana (ε) ambayo inaruka kwenda sifuri kwenye nyanja ya sifuri. Kutofautisha sifuri na (ε) tutahisabika vitu vyote vya msamba wa Routh. 

Baada ya hisabu vitu vyote tutatumia sekta kwenye kila kitu kilichoko (ε). Kutatua sekta kwenye kila kitu ikiwa tutapata thamani ya sekta chanya basi tutasema mfumo uliotolewa unastahimili, ila katika hali zote zingine tutasema mfumo uliotolewa hajastahimili.

Kitu cha pili : Wakati vitu vyote vya mstari wowote wa msamba wa Routh ni sifuri. Katika hali hii tunaweza sema mfumo una dalili za ustawi wa kawaida. Tufafanulie kwanza maana ya fizikia ya kuwa na vitu vyote sifuri vya mstari wowote. 

Maana ya fizikia ni kwamba kuna nyuzi zinazozunguka kwa usawa katika s-plane. Sasa ili kupata ustawi katika hali hii tutafuta mlinganyo wa msaidizi. Mlinganyo wa msaidizi unaweza kutengenezwa kutumia vitu vya mstari ambao ni juu ya mstari wa sifuri katika msamba wa Routh. Baada ya kupata mlinganyo wa msaidizi tutaweka sekta mlinganyo huo wa msaidizi kupata vitu vya mstari wa sifuri. 

Ikiwa hakuna mabadiliko ya ishara katika msamba mpya wa Routh uliotengenezwa kutumia mlinganyo wa msaidizi, basi katika hali hii tutasema mfumo uliotolewa unastahimili kwa ukosefu. Lakini katika hali zote zingine tutasema mfumo uliotolewa hajastahimili.