Kriterij stabilnosti Routh-Hurwitz

Definicija Routh-Hurwitzovega kriterija stabilnosti

To je metoda za določanje stabilnosti sistema z uporabo karakteristične enačbe.

Hurwitzov kriterij

Z uporabo karakteristične enačbe lahko ustvarimo več Hurwitzovih determinantom, da bi določili stabilnost sistema. Karakteristična enačba sistema je definirana kot sledi:

Obstaja n determinantom za n-tero redno karakteristično enačbo.

Tukaj je, kako zapišete determinante iz koeficientov karakteristične enačbe. Sledite tem korakom za k-to redno karakteristično enačbo:

Determinanta ena : Vrednost te determinante je dana s |a1|, kjer je a1 koeficient sn-1 v karakteristični enačbi.

Determinanta dva : Vrednost te determinante je dana s

Število elementov v vsaki vrstici je enako številu determinante in tu imamo dva elementa. Prva vrstica sestoji iz prvih dveh lihih koeficientov, druga vrstica pa iz prvih dveh sodih koeficientov.

Determinanta tri : Vrednost te determinante je dana s

Število elementov v vsaki vrstici je enako številu determinante in tu imamo tri elemente. Prva vrstica sestoji iz prvih treh lihih koeficientov, druga vrstica iz prvih treh sodih koeficientov, tretja vrstica pa iz prvega elementa, ki je ničla, in preostalih dveh elementov, ki so prvi dva liha koeficienta.

Determinanta štiri: Vrednost te determinante je dana s

Število elementov v vsaki vrstici je enako številu determinante in tu imamo štiri elemente. Prva vrstica sestoji iz prvih štirih koeficientov, druga vrstica iz prvih štirih sodih koeficientov, tretja vrstica iz prvega elementa, ki je ničla, in preostalih treh elementov, ki so prvi tri lihi koeficienti, četrta vrstica pa iz prvega elementa, ki je ničla, in preostalih treh elementov, ki so prvi tri sode koeficienti.

Sledenjem istemu postopku lahko posplošimo obliko determinante. Splošna oblika determinante je podana spodaj:

Za preverjanje stabilnosti sistema izračunajte vrednost vsake determinante. Sistem je stabilen, če so vse determinante pozitivne. Če nobena determinanta ni pozitivna, sistem ni stabilen.

Routhov kriterij stabilnosti

Ta kriterij je tudi znani kot spremenjen Hurwitzov kriterij stabilnosti sistema. Ta kriterij bomo raziskovali v dveh delih. Prvi del bo obravnaval potrebne pogoje za stabilnost sistema, drugi del pa dovoljne pogoje za stabilnost sistema. Ponovno upoštevajmo karakteristično enačbo sistema kot

1)     Prvi del (potreben pogoj za stabilnost sistema): Tu imamo dva pogoja, ki sta navedena spodaj:

• Vsi koeficienti karakteristične enačbe morajo biti pozitivni in realni.

• Vsi koeficienti karakteristične enačbe morajo biti neničelni.

2)     Drugi del (dovoljen pogoj za stabilnost sistema): Najprej sestavimo Routhovo tabelo. Za sestavljanje Routhove tabele sledite tem korakom:

Prva vrstica bo sestavljena iz vseh sodih členov karakteristične enačbe. Jih uredite od prvega (sodega člena) do zadnjega (sodega člena). Prva vrstica je napisana spodaj: a0 a2 a4 a6…………

Druga vrstica bo sestavljena iz vseh lihih členov karakteristične enačbe. Jih uredite od prvega (lihega člena) do zadnjega (lihega člena). Druga vrstica je napisana spodaj: a1 a3 a5 a7………..

Elementi tretje vrstice se lahko izračunajo kot:

Prvi element : Pomnožite a0 z diagonalno nasprotnim elementom naslednje stolpca (tj. a3), nato to odštejte od produkta a1 in a2 (kjer je a2 diagonalno nasprotni element naslednjega stolpca) in končno rezultat tako dobljen delite z a1. Matematično to zapišemo kot prvi element

Drugi element : Pomnožite a0 z diagonalno nasprotnim elementom naslednjega stolpca (tj. a5), nato to odštejte od produkta a1 in a4 (kjer je a4 diagonalno nasprotni element naslednjega stolpca) in končno rezultat tako dobljen delite z a1. Matematično to zapišemo kot drugi element

Podobno lahko izračunamo vse elemente tretje vrstice.

(d) Elementi četrte vrstice se lahko izračunajo z uporabo naslednjega postopka:

Prvi element : Pomnožite b1 z diagonalno nasprotnim elementom naslednjega stolpca (tj. a3), nato to odštejte od produkta a1 in b2 (kjer je b2 diagonalno nasprotni element naslednjega stolpca) in končno rezultat tako dobljen delite z b1. Matematično to zapišemo kot prvi element

 (2) Drugi element : Pomnožite b1 z diagonalno nasprotnim elementom naslednjega stolpca (tj. a5), nato to odštejte od produkta a1 in b3 (kjer je b3 diagonalno nasprotni element naslednjega stolpca) in končno rezultat tako dobljen delite z a1. Matematično to zapišemo kot drugi element

Podobno lahko izračunamo vse elemente četrte vrstice.

Podobno lahko izračunamo vse elemente vseh vrstic.

Kriterij stabilnosti, če so vsi elementi prvega stolpca pozitivni, sistem bo stabilen. Če pa je katerikoli negativen, sistem ne bo stabilen.

Tukaj so nekateri posebni primeri, povezani z Routhovim kriterijem stabilnosti, ki so opisani spodaj:

Prvi primer: Če je prvi člen v katerikoli vrstici tabele nič, medtem ko ima ostala vrstica vsaj en neničelen člen. V tem primeru bomo predpostavili zelo majhno vrednost (ε), ki teži k nič, namesto nič. Z nadomestitvijo nič z (ε) bomo izračunali vse elemente Routhove tabele. 

Po izračunu vseh elementov bomo uporabili limito na vsakem elementu, ki vsebuje (ε). Po reševanju limite pri vsakem elementu, če dobimo pozitivno mejo, bomo rekli, da je dan sistem stabilen, v vseh drugih primerih pa bomo rekli, da dan sistem ni stabilen.

Drugi primer : Ko so vsi elementi katere koli vrstice Routhove tabele nič. V tem primeru lahko rečemo, da ima sistem simptome marginalne stabilnosti. Najprej razumimo fizični pomen, da so vsi elementi nič v katerikoli vrstici. 

Fizični pomen je, da so simetrično porazdeljeni koreni karakteristične enačbe v ravnini s. Za ugotavljanje stabilnosti v tem primeru najprej poiščimo pomožno enačbo. Pomožno enačbo lahko sestavimo s pomočjo elementov vrstice, ki je le eno mesto nad vrstico ničel v Routhovi tabeli. Po iskanju pomožne enačbe jo bomo odvodili, da bi dobili elemente ničelne vrstice. 

Če ni spremembe predznaka v novi Routhovi tabeli, sestavljene z uporabo pomožne enačbe, bomo v tem primeru rekli, da je dan sistem omejeno stabilen. V vseh drugih primerih bomo rekli, da je dan sistem nestabilen.