Kriterion ng Estabilidad ni Routh Hurwitz

Pagsasalamin ng Kriteryo ng Estabilidad ni Routh Hurwitz

Ito ay isang paraan upang matukoy ang estabilidad ng isang sistema gamit ang karakteristikong ekwasyon.

Kriteryo ni Hurwitz

Gamit ang karakteristikong ekwasyon, maaari nating lumikha ng ilang determinante ng Hurwitz upang matukoy ang estabilidad ng sistema. Ang karakteristikong ekwasyon ng sistema ay inilalarawan bilang sumusunod:

Mayroong n determinante para sa ika-n na order na karakteristikong ekwasyon.

Narito kung paano isulat ang mga determinante mula sa mga koepisyente ng karakteristikong ekwasyon. Sundin ang mga sumusunod na hakbang para sa ika-k na order na karakteristikong ekwasyon:

Unang determinante : Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng |a1| kung saan ang a1 ay ang koepisyente ng sn-1 sa karakteristikong ekwasyon.

Ikawalong determinante : Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat hilera ay katumbas ng bilang ng determinante at mayroon tayong determinante na dito ay dalawa. Ang unang hilera ay binubuo ng unang dalawang odd na koepisyente at ang pangalawang hilera ay binubuo ng unang dalawang even na koepisyente.

Ikatlong determinante : Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat hilera ay katumbas ng bilang ng determinante at mayroon tayong determinante na dito ay tatlo. Ang unang hilera ay binubuo ng unang tatlong odd na koepisyente, ang pangalawang hilera ay binubuo ng unang tatlong even na koepisyente, at ang ikatlong hilera ay binubuo ng unang elemento bilang zero at ang natitirang dalawang elemento bilang unang dalawang odd na koepisyente.

Ikaapat na determinante: Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng,

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat hilera ay katumbas ng bilang ng determinante at mayroon tayong determinante na dito ay apat. Ang unang hilera ay binubuo ng unang apat na koepisyente, ang pangalawang hilera ay binubuo ng unang apat na even na koepisyente, ang ikatlong hilera ay binubuo ng unang elemento bilang zero at ang natitirang tatlong elemento bilang unang tatlong odd na koepisyente, at ang ikaapat na hilera ay binubuo ng unang elemento bilang zero at ang natitirang tatlong elemento bilang unang tatlong even na koepisyente.

Sa pagsundan ng parehong proseso, maaari nating heneralisahin ang pagbuo ng determinante. Ang pangkalahatang anyo ng determinante ay ibinibigay sa ibaba:

Upang suriin ang estabilidad ng sistema, kalkulahin ang halaga ng bawat determinante. Ang sistema ay matatag kung ang bawat determinante ay positibo. Kung hindi positibo ang anumang determinante, ang sistema ay hindi matatag.

Kriteryo ng Estabilidad ni Routh

Ang kriteryong ito ay kilala rin bilang pinagbagong Kriteryo ni Hurwitz ng estabilidad ng sistema. Aaralin natin ang kriteryong ito sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay kumakatawan sa kinakailangang kondisyon para sa estabilidad ng sistema at ang pangalawang bahagi ay kumakatawan sa sapat na kondisyon para sa estabilidad ng sistema. Ipaglaban natin muli ang karakteristikong ekwasyon ng sistema bilang

1)     Unang bahagi (kinakailangang kondisyon para sa estabilidad ng sistema): Dito mayroon tayong dalawang kondisyon na isinulat sa ibaba:

• Ang lahat ng mga koepisyente ng karakteristikong ekwasyon ay dapat positibo at real.

• Ang lahat ng mga koepisyente ng karakteristikong ekwasyon ay dapat hindi zero.

2)     Pangalawang bahagi (sapat na kondisyon para sa estabilidad ng sistema): Unawain natin muna ang array ni Routh. Upang makonstruksyon ang array ni Routh, sundin ang mga sumusunod na hakbang:

Ang unang hilera ay maglalaman ng lahat ng even na termino ng karakteristikong ekwasyon. Ayusin sila mula sa unang (even term) hanggang sa huling (even term). Isinulat sa ibaba ang unang hilera: a0 a2 a4 a6…………

Ang pangalawang hilera ay maglalaman ng lahat ng odd na termino ng karakteristikong ekwasyon. Ayusin sila mula sa unang (odd term) hanggang sa huling (odd term). Isinulat sa ibaba ang unang hilera: a1 a3 a5 a7………..

Ang mga elemento ng ikatlong hilera ay maaaring makalkula bilang:

Unang elemento : I-multiply ang a0 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a3) pagkatapos ay i-subtract ito sa product ng a1 at a2 (kung saan ang a2 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay i-divide ang resulta ng a1. Matematikal na isinusulat natin ang unang elemento

Pangalawang elemento : I-multiply ang a0 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a5) pagkatapos ay i-subtract ito sa product ng a1 at a4 (kung saan, a4 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay i-divide ang resulta ng a1. Matematikal na isinusulat natin ang pangalawang elemento

Gaya ng nabanggit, maaari nating makalkula ang lahat ng mga elemento ng ikatlong hilera.

(d) Ang mga elemento ng ikaapat na hilera ay maaaring makalkula sa pamamagitan ng sumusunod na proseso:

Unang elemento : I-multiply ang b1 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a3) pagkatapos ay i-subtract ito sa product ng a1 at b2 (kung saan, b2 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay i-divide ang resulta ng b1. Matematikal na isinusulat natin ang unang elemento

 (2) Pangalawang elemento : I-multiply ang b1 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a5) pagkatapos ay i-subtract ito sa product ng a1 at b3 (kung saan, b3 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay i-divide ang resulta ng a1. Matematikal na isinusulat natin ang pangalawang elemento

Gaya ng nabanggit, maaari nating makalkula ang lahat ng mga elemento ng ikaapat na hilera.

Gaya ng nabanggit, maaari nating makalkula ang lahat ng mga elemento ng lahat ng mga hilera.

Kriteryo ng estabilidad kung ang lahat ng mga elemento ng unang column ay positibo, ang sistema ay matatag. Ngunit kung ang anumang isa sa kanila ay negatibo, ang sistema ay hindi matatag.

Ngayon, mayroon tayong ilang espesyal na kaso na may kaugnayan sa Kriteryo ng Estabilidad ni Routh na isinulat sa ibaba:

Kaso uno: Kung ang unang termino sa anumang hilera ng array ay zero habang ang natitirang bahagi ng hilera ay may kahit isang non-zero na termino.Sa kasong ito, aasumosin natin ang napakaliit na halaga (ε) na tumuturo sa zero. Sa pamamagitan ng pagpalit ng zero sa (ε), kalkulahin natin ang lahat ng mga elemento ng array ni Routh. 

Pagkatapos makalkula ang lahat ng mga elemento, ilapat natin ang limit sa bawat elemento na naglalaman ng (ε). Sa pag-solve ng limit sa bawat elemento, kung makakakuha tayo ng positibong limit value, sasabihin natin na ang sistemang ito ay matatag, sa lahat ng iba pang kondisyon, sasabihin natin na ang sistemang ito ay hindi matatag.

Kaso p