Routh Hurwitz स्थिरता मानदंड

Routh Hurwitz स्थिरता मानदंड की परिभाषा

यह विशेष गुणांक समीकरण का उपयोग करके प्रणाली की स्थिरता निर्धारित करने की एक विधि है।

Hurwitz मानदंड

विशेष गुणांक समीकरण का उपयोग करके, हम कई Hurwitz निर्धारक बना सकते हैं जो प्रणाली की स्थिरता निर्धारित करते हैं। प्रणाली का विशेष गुणांक समीकरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

n-वीं क्रम के विशेष गुणांक समीकरण के लिए n निर्धारक होते हैं।

यहाँ विशेष गुणांक समीकरण के गुणांकों से निर्धारक लिखने का तरीका दिया गया है। k-वीं क्रम के विशेष गुणांक समीकरण के लिए इन चरणों का पालन करें:

निर्धारक एक : इस निर्धारक का मान |a1| द्वारा दिया जाता है, जहाँ a1 विशेष गुणांक समीकरण में sn-1 का गुणांक है।

निर्धारक दो : इस निर्धारक का मान इस प्रकार दिया जाता है

यहाँ प्रत्येक पंक्ति में तत्वों की संख्या निर्धारक संख्या के बराबर होती है और यहाँ निर्धारक संख्या दो है। पहली पंक्ति पहले दो विषम गुणांकों से और दूसरी पंक्ति पहले दो सम गुणांकों से बनी है।

निर्धारक तीन : इस निर्धारक का मान इस प्रकार दिया जाता है

यहाँ प्रत्येक पंक्ति में तत्वों की संख्या निर्धारक संख्या के बराबर होती है और यहाँ निर्धारक संख्या तीन है। पहली पंक्ति पहले तीन विषम गुणांकों से, दूसरी पंक्ति पहले तीन सम गुणांकों से और तीसरी पंक्ति पहला तत्व शून्य और बाकी दो तत्व पहले दो विषम गुणांकों से बनी है।

निर्धारक चार: इस निर्धारक का मान इस प्रकार दिया जाता है,

यहाँ प्रत्येक पंक्ति में तत्वों की संख्या निर्धारक संख्या के बराबर होती है और यहाँ निर्धारक संख्या चार है। पहली पंक्ति पहले चार गुणांकों से, दूसरी पंक्ति पहले चार सम गुणांकों से, तीसरी पंक्ति पहला तत्व शून्य और बाकी तीन तत्व पहले तीन विषम गुणांकों से और चौथी पंक्ति पहला तत्व शून्य और बाकी तीन तत्व पहले तीन सम गुणांकों से बनी है।

इसी प्रक्रिया का पालन करके, हम निर्धारक के गठन को सामान्यीकृत कर सकते हैं। निर्धारक का सामान्य रूप नीचे दिया गया है:

प्रणाली की स्थिरता जाँचने के लिए, प्रत्येक निर्धारक का मान गणना करें। प्रणाली स्थिर होगी यदि प्रत्येक निर्धारक धनात्मक हो। यदि कोई निर्धारक धनात्मक नहीं है, तो प्रणाली स्थिर नहीं होगी।

Routh स्थिरता मानदंड

यह मानदंड प्रणाली की स्थिरता के लिए संशोधित Hurwitz मानदंड के रूप में भी जाना जाता है। हम इस मानदंड का अध्ययन दो भागों में करेंगे। पहला भाग प्रणाली की स्थिरता के लिए आवश्यक शर्तों को शामिल करेगा और दूसरा भाग प्रणाली की स्थिरता के लिए पर्याप्त शर्तों को शामिल करेगा। फिर से विशेष गुणांक समीकरण को लेते हैं

1)     भाग एक (प्रणाली की स्थिरता के लिए आवश्यक शर्त): इसमें हमारे पास दो शर्तें हैं जो नीचे लिखी गई हैं:

• विशेष गुणांक समीकरण के सभी गुणांक धनात्मक और वास्तविक होने चाहिए।

• विशेष गुणांक समीकरण के सभी गुणांक गैर-शून्य होने चाहिए।

2)     भाग दो (प्रणाली की स्थिरता के लिए पर्याप्त शर्त): पहले Routh टेबल बनाते हैं। Routh टेबल बनाने के लिए इन चरणों का पालन करें:

पहली पंक्ति विशेष गुणांक समीकरण के सभी सम तत्वों से बनी होगी। उन्हें पहले (सम तत्व) से अंतिम (सम तत्व) तक व्यवस्थित करें। पहली पंक्ति नीचे लिखी गई है: a0 a2 a4 a6…………

दूसरी पंक्ति विशेष गुणांक समीकरण के सभी विषम तत्वों से बनी होगी। उन्हें पहले (विषम तत्व) से अंतिम (विषम तत्व) तक व्यवस्थित करें। पहली पंक्ति नीचे लिखी गई है: a1 a3 a5 a7………..

तीसरी पंक्ति के तत्व इस प्रकार गणना किए जा सकते हैं:

पहला तत्व : a0 को अगले स्तंभ के विकर्ण विपरीत तत्व (i.e. a3) से गुणा करें, फिर इसे a1 और a2 (जहाँ a2 अगले स्तंभ का विकर्ण विपरीत तत्व है) के गुणनफल से घटाएं, और फिर अंतिम परिणाम को a1 से विभाजित करें। गणितीय रूप से हम पहला तत्व इस प्रकार लिखते हैं

दूसरा तत्व : a0 को अगले-अगले स्तंभ के विकर्ण विपरीत तत्व (i.e. a5) से गुणा करें, फिर इसे a1 और a4 (जहाँ a4 अगले-अगले स्तंभ का विकर्ण विपरीत तत्व है) के गुणनफल से घटाएं, और फिर अंतिम परिणाम को a1 से विभाजित करें। गणितीय रूप से हम दूसरा तत्व इस प्रकार लिखते हैं

इसी तरह, हम तीसरी पंक्ति के सभी तत्वों की गणना कर सकते हैं।

(d) चौथी पंक्ति के तत्व इस प्रकार गणना किए जा सकते हैं:

पहला तत्व : b1 को अगले स्तंभ के विकर्ण विपरीत तत्व (i.e. a3) से गुणा करें, फिर इसे a1 और b2 (जहाँ b2 अगले स्तंभ का विकर्ण विपरीत तत्व है) के गुणनफल से घटाएं, और फिर अंतिम परिणाम को b1 से विभाजित करें। गणितीय रूप से हम पहला तत्व इस प्रकार लिखते हैं

 (2) दूसरा तत्व : b1 को अगले-अगले स्तंभ के विकर्ण विपरीत तत्व (i.e. a5) से गुणा करें, फिर इसे a1 और b3 (जहाँ b3 अगले-अगले स्तंभ का विकर्ण विपरीत तत्व है) के गुणनफल से घटाएं, और फिर अंतिम परिणाम को a1 से विभाजित करें। गणितीय रूप से हम दूसरा तत्व इस प्रकार लिखते हैं

इसी तरह, हम चौथी पंक्ति के सभी तत्वों की गणना कर सकते हैं।

इसी तरह, हम सभी पंक्तियों के सभी तत्वों की गणना कर सकते हैं।

स्थिरता मानदंड: यदि पहले स्तंभ के सभी तत्व धनात्मक हैं, तो प्रणाली स्थिर होगी। हालांकि, यदि उनमें से कोई ऋणात्मक है, तो प्रणाली अस्थिर होगी।

अब Routh स्थिरता मानदंड से संबंधित कुछ विशेष मामले हैं जो नीचे चर्चा किए गए हैं:

मामला एक: यदि किसी पंक्ति का पहला तत्व शून्य है, जबकि बाकी पंक्ति म