Κριτήριο Σταθερότητας Routh Hurwitz

Ορισμός Κριτηρίου Σταθερότητας Routh Hurwitz

Είναι μία μέθοδος για την προσδιορισμό της σταθερότητας ενός συστήματος χρησιμοποιώντας την χαρακτηριστική εξίσωση.

Κριτήριο Hurwitz

Χρησιμοποιώντας την χαρακτηριστική εξίσωση, μπορούμε να δημιουργήσουμε αρκετούς πίνακες Hurwitz για την προσδιορισμό της σταθερότητας του συστήματος. Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ορίζεται ως εξής:

Υπάρχουν n πίνακες για μία χαρακτηριστική εξίσωση n^ής τάξης.

Ακολουθεί πώς γράφουμε τους πίνακες από τους συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Ακολουθήστε αυτά τα βήματα για μία χαρακτηριστική εξίσωση k-ής τάξης:

Πίνακας ένας : Η τιμή αυτού του πίνακα δίνεται από |a1| όπου a1 είναι ο συντελεστής του sn-1 στην χαρακτηριστική εξίσωση.

Πίνακας δύο : Η τιμή αυτού του πίνακα δίνεται από

Εδώ, ο αριθμός των στοιχείων σε κάθε σειρά είναι ίσος με τον αριθμό του πίνακα και έχουμε πίνακα αριθμό δύο. Η πρώτη σειρά αποτελείται από τους δύο πρώτους μονούς συντελεστές και η δεύτερη σειρά αποτελείται από τους δύο πρώτους άρτιους συντελεστές.

Πίνακας τρία : Η τιμή αυτού του πίνακα δίνεται από

Εδώ, ο αριθμός των στοιχείων σε κάθε σειρά είναι ίσος με τον αριθμό του πίνακα και έχουμε πίνακα αριθμό τρία. Η πρώτη σειρά αποτελείται από τους τρεις πρώτους μονούς συντελεστές, η δεύτερη σειρά αποτελείται από τους τρεις πρώτους άρτιους συντελεστές και η τρίτη σειρά αποτελείται από το πρώτο στοιχείο ως μηδέν και τα υπόλοιπα δύο στοιχεία ως τους δύο πρώτους μονούς συντελεστές.

Πίνακας τέσσερα: Η τιμή αυτού του πίνακα δίνεται από,

Εδώ, ο αριθμός των στοιχείων σε κάθε σειρά είναι ίσος με τον αριθμό του πίνακα και έχουμε πίνακα αριθμό τέσσερα. Η πρώτη σειρά αποτελείται από τους τέσσερις πρώτους συντελεστές, η δεύτερη σειρά αποτελείται από τους τέσσερις πρώτους άρτιους συντελεστές, η τρίτη σειρά αποτελείται από το πρώτο στοιχείο ως μηδέν και τα υπόλοιπα τρία στοιχεία ως τους τρεις πρώτους μονούς συντελεστές, η τέταρτη σειρά αποτελείται από το πρώτο στοιχείο ως μηδέν και τα υπόλοιπα τρία στοιχεία ως τους τρεις πρώτους άρτιους συντελεστές.

Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία, μπορούμε να γενικεύσουμε τη δημιουργία των πινάκων. Η γενική μορφή του πίνακα δίνεται παρακάτω:

Για να ελέγξετε τη σταθερότητα του συστήματος, υπολογίστε την τιμή κάθε πίνακα. Το σύστημα είναι σταθερό αν κάθε πίνακας είναι θετικός. Εάν κάποιος πίνακας δεν είναι θετικός, τότε το σύστημα δεν είναι σταθερό.

Κριτήριο Σταθερότητας Routh

Αυτό το κριτήριο είναι επίσης γνωστό ως το τροποποιημένο Κριτήριο Hurwitz για τη σταθερότητα του συστήματος. Θα μελετήσουμε αυτό το κριτήριο σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα καλύψει την απαραίτητη συνθήκη για τη σταθερότητα του συστήματος και το δεύτερο μέρος θα καλύψει την αρκετή συνθήκη για τη σταθερότητα του συστήματος. Ας θεωρήσουμε εκ νέου την χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος ως

1)     Μέρος ένα (απαραίτητη συνθήκη για τη σταθερότητα του συστήματος): Σε αυτό έχουμε δύο συνθήκες που είναι γραμμένες παρακάτω:

• Όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης πρέπει να είναι θετικοί και πραγματικοί.

• Όλοι οι συντελεστές της χαρακτηριστικής εξίσωσης πρέπει να είναι μη μηδενικοί.

2)     Μέρος δύο (αρκετή συνθήκη για τη σταθερότητα του συστήματος): Ας κατασκευάσουμε πρώτα τον πίνακα Routh. Για να κατασκευάσουμε τον πίνακα Routh, ακολουθήστε αυτά τα βήματα:

Η πρώτη σειρά θα αποτελείται από όλους τους άρτιους όρους της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Ταξινομήστε τους από τον πρώτο (άρτιος όρος) έως τον τελευταίο (άρτιος όρος). Η πρώτη σειρά είναι γραμμένη παρακάτω: a0 a2 a4 a6…………

Η δεύτερη σειρά θα αποτελείται από όλους τους μονούς όρους της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Ταξινομήστε τους από τον πρώτο (μονούς όρο) έως τον τελευταίο (μονούς όρο). Η δεύτερη σειρά είναι γραμμένη παρακάτω: a1 a3 a5 a7………..

Τα στοιχεία της τρίτης σειράς μπορούν να υπολογιστούν ως εξής:

Πρώτο στοιχείο : Πολλαπλασιάστε το a0 με το διαγώνια αντίθετο στοιχείο της επόμενης στήλης (δηλ. a3) και στη συνέχεια αφαιρέστε αυτό από το γινόμενο του a1 και a2 (όπου a2 είναι το διαγώνια αντίθετο στοιχείο της επόμενης στήλης) και τελικά διαιρέστε το αποτέλεσμα με το a1. Μαθηματικά γράφουμε το πρώτο στοιχείο

Δεύτερο στοιχείο : Πολλαπλασιάστε το a0 με το διαγώνια αντίθετο στοιχείο της επόμενης στήλης (δηλ. a5) και στη συνέχεια αφαιρέστε αυτό από το γινόμενο του a1 και a4 (όπου a4 είναι το διαγώνια αντίθετο στοιχείο της επόμενης στήλης) και τελικά διαιρέστε το αποτέλεσμα με το a1. Μαθηματικά γράφουμε το δεύτερο στοιχείο

Συμπαρατηρώντας, μπορούμε να υπολογίσουμε όλα τα στοιχεία της τρίτης σειράς.

(d) Τα στοιχεία της τέταρτης σειράς μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας την ακόλουθη διαδικασία:

Πρώτο στοιχείο : Πολλαπλασιάστε το b1 με το διαγώνια αντίθετο στοιχείο της επόμενης στήλης (δηλ. a3) και στη συνέχεια αφαιρέστε αυτό από το γινόμενο του a1 και b2 (όπου b2 είναι το διαγώνια αντίθετο στοιχείο της επόμενης στήλης) και τελικά διαιρέστε το αποτέλεσμα με το b1. Μαθηματικά γράφουμε το πρώτο στοιχείο

 (2) Δεύτερο στοιχείο : Πολλαπλασιάστε το b1 με το διαγώνια αντίθετο στοιχείο της επόμενης στήλης (δηλ. a5) και στη συνέχεια αφαιρέστε αυτό από το γινόμενο του a1 και b3 (όπου b3 είναι το διαγώνια αντίθετο στοιχείο της επόμενης στήλης) και τελικά διαιρέστε το αποτέλεσμα με το a1. Μαθηματικά γράφουμε το δεύτερο στοιχείο

Συμπαρατηρώντας, μπορούμε να υπολογίσουμε όλα τα στοιχεία της τέταρτης σειράς.