Critère de stabilité de Routh-Hurwitz

Critère de stabilité de Routh Hurwitz - Définition

C'est une méthode pour déterminer la stabilité d'un système en utilisant l'équation caractéristique.

Critère de Hurwitz

En utilisant l'équation caractéristique, nous pouvons créer plusieurs déterminants de Hurwitz pour déterminer la stabilité du système. L'équation caractéristique du système est définie comme suit :

Il y a n déterminants pour une équation caractéristique d'ordre n^e.

Voici comment écrire les déterminants à partir des coefficients de l'équation caractéristique. Suivez ces étapes pour une équation caractéristique d'ordre k :

Déterminant un : La valeur de ce déterminant est donnée par |a1| où a1 est le coefficient de sn-1 dans l'équation caractéristique.

Déterminant deux : La valeur de ce déterminant est donnée par

Le nombre d'éléments dans chaque ligne est égal au numéro du déterminant et ici le numéro du déterminant est deux. La première ligne comprend les deux premiers coefficients impairs et la deuxième ligne comprend les deux premiers coefficients pairs.

Déterminant trois : La valeur de ce déterminant est donnée par

Le nombre d'éléments dans chaque ligne est égal au numéro du déterminant et ici le numéro du déterminant est trois. La première ligne comprend les trois premiers coefficients impairs, la deuxième ligne comprend les trois premiers coefficients pairs et la troisième ligne comprend le premier élément comme zéro et les deux éléments restants comme les deux premiers coefficients impairs.

Déterminant quatre : La valeur de ce déterminant est donnée par,

Le nombre d'éléments dans chaque ligne est égal au numéro du déterminant et ici le numéro du déterminant est quatre. La première ligne comprend les quatre premiers coefficients, la deuxième ligne comprend les quatre premiers coefficients pairs, la troisième ligne comprend le premier élément comme zéro et les trois éléments restants comme les trois premiers coefficients impairs, la quatrième ligne comprend le premier élément comme zéro et les trois éléments restants comme les trois premiers coefficients pairs.

En suivant la même procédure, nous pouvons généraliser la formation du déterminant. La forme générale du déterminant est donnée ci-dessous :

Pour vérifier la stabilité du système, calculez la valeur de chaque déterminant. Le système est stable si chaque déterminant est positif. Si un déterminant n'est pas positif, le système n'est pas stable.

Critère de stabilité de Routh

Ce critère est également connu sous le nom de critère modifié de Hurwitz pour la stabilité du système. Nous étudierons ce critère en deux parties. La première partie couvrira la condition nécessaire pour la stabilité du système et la deuxième partie couvrira la condition suffisante pour la stabilité du système. Considérons à nouveau l'équation caractéristique du système comme

1)     Première partie (condition nécessaire pour la stabilité du système) : Dans cette partie, nous avons deux conditions qui sont écrites ci-dessous :

• Tous les coefficients de l'équation caractéristique doivent être positifs et réels.

• Tous les coefficients de l'équation caractéristique doivent être non nuls.

2)     Deuxième partie (condition suffisante pour la stabilité du système) : Construisons d'abord le tableau de Routh. Pour construire le tableau de Routh, suivez ces étapes :

La première ligne comprendra tous les termes pairs de l'équation caractéristique. Arrangez-les du premier (terme pair) au dernier (terme pair). La première ligne est écrite ci-dessous : a0 a2 a4 a6…………

La deuxième ligne comprendra tous les termes impairs de l'équation caractéristique. Arrangez-les du premier (terme impair) au dernier (terme impair). La deuxième ligne est écrite ci-dessous : a1 a3 a5 a7………..

Les éléments de la troisième ligne peuvent être calculés comme suit :

Premier élément : Multipliez a0 avec l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante (c'est-à-dire a3), puis soustrayez cela du produit de a1 et a2 (où a2 est l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante), puis divisez finalement le résultat obtenu par a1. Mathématiquement, nous écrivons le premier élément

Deuxième élément : Multipliez a0 avec l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante (c'est-à-dire a5), puis soustrayez cela du produit de a1 et a4 (où a4 est l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante), puis divisez finalement le résultat obtenu par a1. Mathématiquement, nous écrivons le deuxième élément

De la même manière, nous pouvons calculer tous les éléments de la troisième ligne.

(d) Les éléments de la quatrième ligne peuvent être calculés en utilisant la procédure suivante :

Premier élément : Multipliez b1 avec l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante (c'est-à-dire a3), puis soustrayez cela du produit de a1 et b2 (où b2 est l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante), puis divisez finalement le résultat obtenu par b1. Mathématiquement, nous écrivons le premier élément

 (2) Deuxième élément : Multipliez b1 avec l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante (c'est-à-dire a5), puis soustrayez cela du produit de a1 et b3 (où b3 est l'élément diagonalement opposé de la colonne suivante), puis divisez finalement le résultat obtenu par a1. Mathématiquement, nous écrivons le deuxième élément

De la même manière, nous pouvons calculer tous les éléments de la quatrième ligne.

De la même manière, nous pouvons calculer tous les éléments de toutes les lignes.

Critère de stabilité : si tous les éléments de la première colonne sont positifs, alors le système sera stable. Cependant, si l'un d'entre eux est négatif, le système sera instable.

Il existe maintenant certains cas particuliers liés aux critères de stabilité de Routh, qui sont discutés ci-dessous :

Cas un : Si le premier terme de n'importe quelle ligne du tableau est zéro, tandis que le reste de la ligne a au moins un terme non nul.Dans ce cas, nous supposerons une très petite valeur (ε) tendant vers zéro à la place de zéro. En remplaçant zéro par (ε), nous calculerons tous les éléments du tableau de Routh. 

Après avoir calculé tous les éléments, nous appliquerons la limite à chaque élément contenant (ε). En résolvant la limite à chaque élément, si nous obtenons une valeur limite positive, nous dirons que le système donné est stable, sinon, dans toutes les autres conditions, nous dirons que le système donné n'est pas stable.

Cas deux : Lorsque tous les éléments de n'importe quelle ligne du tableau de Routh sont nuls. Dans ce cas, nous pouvons dire que le système présente des symptômes de stabilité marginale. Commençons par comprendre la signification physique d'avoir tous les éléments nuls d'une ligne. 

La signification physique est qu'il y a des racines symétriquement situées de l'équation caractéristique dans le plan s.Maintenant, pour déterminer la stabilité dans ce cas, nous trouverons d'abord l'équation auxiliaire. L'équation auxiliaire peut être formée en utilisant les éléments de la ligne juste au-dessus de la ligne de zéros dans le tableau de Routh. Après avoir trouvé l'équation auxiliaire, nous la différencierons pour obtenir les éléments de la ligne de zéros. 

S'il n'y a pas de changement de signe dans le nouveau tableau de Routh formé en utilisant l'équation auxiliaire, alors dans ce cas, nous dirons que le système donné est stable limité. Dans tous les autres cas, nous dirons que le système donné est instable.