Criteriú Stábhachta Routh Hurwitz

Criteriu Stabilității Routh Hurwitz Definiție

Este o metodă de determinare a stabilității unui sistem folosind ecuația caracteristică.

Criteriul Hurwitz

Folosind ecuația caracteristică, putem crea mai multe determinanți Hurwitz pentru a determina stabilitatea sistemului. Ecuația caracteristică a sistemului este definită astfel:

Există n determinanți pentru o ecuație caracteristică de ordinul n.

Iată cum se scriu determinanții din coeficienții ecuației caracteristice. Urmăriți acești pași pentru o ecuație caracteristică de ordinul k:

Determinantul unu : Valoarea acestui determinant este dată de |a1| unde a1 este coeficientul lui sn-1 în ecuația caracteristică.

Determinantul doi : Valoarea acestui determinant este dată de

Aici numărul de elemente din fiecare rând este egal cu numărul determinantului și avem aici determinantul numărul doi. Primul rând conține primele două coeficienți impari, iar al doilea rând conține primele două coeficienți pari.

Determinantul trei : Valoarea acestui determinant este dată de

Aici numărul de elemente din fiecare rând este egal cu numărul determinantului și avem aici determinantul numărul trei. Primul rând conține primele trei coeficienți impari, al doilea rând conține primele trei coeficienți pari, iar al treilea rând conține primul element ca zero și restul celor două elemente ca primele două coeficienți impari.

Determinantul patru: Valoarea acestui determinant este dată de,

Aici numărul de elemente din fiecare rând este egal cu numărul determinantului și avem aici determinantul numărul patru. Primul rând conține primele patru coeficienți, al doilea rând conține primele patru coeficienți pari, al treilea rând conține primul element ca zero și restul celor trei elemente ca primele trei coeficienți impari, iar al patrulea rând conține primul element ca zero și restul celor trei elemente ca primele trei coeficienți pari.

Urmând același procedeu, putem generaliza formarea determinantului. Forma generală a determinantului este dată mai jos:

Pentru a verifica stabilitatea sistemului, calculați valoarea fiecărui determinant. Sistemul este stabil dacă fiecare determinant este pozitiv. Dacă oricare determinant nu este pozitiv, sistemul nu este stabil.

Criteriul Stabilității Routh

Acest criteriu este cunoscut și sub numele de Criteriul Hurwitz modificat de stabilitate a sistemului. Vom studia acest criteriu în două părți. Prima parte va acoperi condiția necesară pentru stabilitatea sistemului, iar a doua parte va acoperi condiția suficientă pentru stabilitatea sistemului. Să luăm în considerare din nou ecuația caracteristică a sistemului ca

1)     Prima parte (condiția necesară pentru stabilitatea sistemului): Aici avem două condiții care sunt scrise mai jos:

• Toți coeficienții ecuației caracteristice ar trebui să fie pozitivi și reali.

• Toți coeficienții ecuației caracteristice ar trebui să nu fie zero.

2)     A doua parte (condiția suficientă pentru stabilitatea sistemului): Să construim mai întâi tabloul Routh. Pentru a construi tabloul Routh, urmați acești pași:

Primul rând va consta din toți termenii pari ai ecuației caracteristice. Așeză-i de la primul (termen par) până la ultimul (termen par). Primul rând este scris mai jos: a0 a2 a4 a6…………

Al doilea rând va consta din toți termenii impari ai ecuației caracteristice. Așeză-i de la primul (termen impar) până la ultimul (termen impar). Al doilea rând este scris mai jos: a1 a3 a5 a7………..

Elementele din rândul trei pot fi calculate astfel:

Primul element : Înmulțiți a0 cu elementul opus diagonal din coloana următoare (adică a3), apoi scădeți acest lucru din produsul a1 și a2 (unde a2 este elementul opus diagonal din coloana următoare) și, în cele din urmă, împărțiți rezultatul obținut cu a1. Matematic, scriem primul element

Al doilea element : Înmulțiți a0 cu elementul opus diagonal din coloana următoare (adică a5), apoi scădeți acest lucru din produsul a1 și a4 (unde a4 este elementul opus diagonal din coloana următoare) și, în cele din urmă, împărțiți rezultatul obținut cu a1. Matematic, scriem al doilea element

În mod similar, putem calcula toate elementele din rândul trei.

(d) Elementele din rândul patru pot fi calculate folosind următorul procedeu:

Primul element : Înmulțiți b1 cu elementul opus diagonal din coloana următoare (adică a3), apoi scădeți acest lucru din produsul a1 și b2 (unde b2 este elementul opus diagonal din coloana următoare) și, în cele din urmă, împărțiți rezultatul obținut cu b1. Matematic, scriem primul element

 (2) Al doilea element : Înmulțiți b1 cu elementul opus diagonal din coloana următoare (adică a5), apoi scădeți acest lucru din produsul a1 și b3 (unde b3 este elementul opus diagonal din coloana următoare) și, în cele din urmă, împărțiți rezultatul obținut cu a1. Matematic, scriem al doilea element

În mod similar, putem calcula toate elementele din rândul patru.

În mod similar, putem calcula toate elementele din toate rândurile.

Criteriul de stabilitate dacă toate elementele din prima coloană sunt pozitive, atunci sistemul va fi stabil. Cu toate acestea, dacă oricare dintre ele este negativ, sistemul va fi instabil.

Acum există unele cazuri speciale legate de Criteriul Stabilității Routh care sunt discutate mai jos:

Cazul unu: Dacă primul termen în orice rând al tabloului este zero, în timp ce restul rândului are cel puțin un termen nenul. În acest caz, vom presupune o valoare foarte mică (ε) care tinde la zero în loc de zero. Înlocuind zero cu (ε), vom calcula toate elementele tabloului Routh. 

După calcularea tuturor elementelor, vom aplica limita la fiecare element care conține (ε). Rezolvând limita la fiecare element, dacă obținem o valoare limită pozitivă, vom spune că sistemul dat este stabil, în toate celelalte condiții, vom spune că sistemul dat nu este stabil.

Cazul doi : Când toate elementele din orice rând al tabloului Routh sunt zero. În acest caz, putem spune că sistemul are simptome de stabilitate marginală. Să înțelegem mai întâi sensul fizic al faptului că toate elementele unui rând sunt zero. 

Sensul fizic este că există rădăcini simetric situate ale ecuației caracteristice în planul s. Acum, pentru a găsi stabilitatea în acest caz, vom găsi mai întâi ecuația auxiliară. Ecuația auxiliară poate fi formată folosind elementele rândului deasupra rândului de zerouri din tabloul Routh. După găsirea ecuației auxiliare, vom deriva ecuația auxiliară pentru a obține elementele rândului de zerouri. 

Dacă nu există nicio schimbare de semn în noul tablou Routh format folosind ecuația auxiliară, atunci în acest caz vom spune că sistemul dat este stabil limitat. În toate celelalte cazuri, vom spune că sistemul dat este instabil.