Kriteryong Estabilidad ni Routh-Hurwitz

Pagsasalamin ng Kriterya ng Estabilidad ni Routh Hurwitz

Ito ay isang paraan upang matukoy ang estabilidad ng isang sistema gamit ang ekwasyong karakteristiko.

Kriterya ni Hurwitz

Gamit ang ekwasyong karakteristiko, maaari nating lumikha ng maraming determinante ni Hurwitz upang matukoy ang estabilidad ng sistema. Ang ekwasyong karakteristiko ng sistema ay inilalarawan bilang sumusunod:

Mayroon nang n determinante para sa n^th order na ekwasyong karakteristiko.

Narito kung paano isulat ang mga determinante mula sa mga koepisyente ng ekwasyong karakteristiko. Sundin ang mga hakbang para sa kth order na ekwasyong karakteristiko:

Determinante uno : Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng |a1| kung saan ang a1 ay ang koepisyente ng sn-1 sa ekwasyong karakteristiko.

Determinante dos : Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat hilera ay katumbas ng bilang ng determinante at mayroon tayong determinante na ito ay dalawa. Ang unang hilera ay binubuo ng unang dalawang odd na koepisyente at ang pangalawang hilera ay binubuo ng unang dalawang even na koepisyente.

Determinante tres : Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat hilera ay katumbas ng bilang ng determinante at mayroon tayong determinante na ito ay tatlo. Ang unang hilera ay binubuo ng unang tatlong odd na koepisyente, ang pangalawang hilera ay binubuo ng unang tatlong even na koepisyente at ang ikatlong hilera ay binubuo ng unang elemento bilang zero at ang natitirang dalawang elemento bilang unang dalawang odd na koepisyente.

Determinante apat: Ang halaga ng determinante na ito ay ibinibigay ng,

Dito, ang bilang ng mga elemento sa bawat hilera ay katumbas ng bilang ng determinante at mayroon tayong determinante na ito ay apat. Ang unang hilera ay binubuo ng unang apat na koepisyente, ang pangalawang hilera ay binubuo ng unang apat na even na koepisyente, ang ikatlong hilera ay binubuo ng unang elemento bilang zero at ang natitirang tatlong elemento bilang unang tatlong odd na koepisyente at ang ikaapat na hilera ay binubuo ng unang elemento bilang zero at ang natitirang tatlong elemento bilang unang tatlong even na koepisyente.

Sundin ang parehong proseso upang heneralisa ang pagbuo ng determinante. Ang pangkalahatang anyo ng determinante ay ibinibigay sa ibaba:

Upang suriin ang estabilidad ng sistema, kalkulahin ang halaga ng bawat determinante. Ang sistema ay stable kung ang bawat determinante ay positibo. Kung hindi positibo ang anumang determinante, hindi stable ang sistema.

Kriterya ng Estabilidad ni Routh

Ang kriteryang ito ay kilala rin bilang modified Hurwitz Criterion of stability ng sistema. Aaralin natin ang kriteryang ito sa dalawang bahagi. Ang unang bahagi ay maglalaman ng kinakailangang kondisyon para sa estabilidad ng sistema at ang ikalawang bahagi ay maglalaman ng sapat na kondisyon para sa estabilidad ng sistema. Ipaglaban natin muli ang ekwasyong karakteristiko ng sistema bilang

1)     Bahaging isa (kinakailangang kondisyon para sa estabilidad ng sistema): Dito mayroon tayong dalawang kondisyon na isinulat sa ibaba:

• Ang lahat ng koepisyente ng ekwasyong karakteristiko ay dapat positibo at tunay.

• Ang lahat ng koepisyente ng ekwasyong karakteristiko ay dapat hindi sero.

2)     Bahaging dalawa (sapat na kondisyon para sa estabilidad ng sistema): Unawain natin muna ang routh array. Upang makabuo ng routh array sundin ang mga sumusunod na hakbang:

Ang unang hilera ay lalagyan ng lahat ng even terms ng ekwasyong karakteristiko. Ayusin sila mula sa unang (even term) hanggang sa huling (even term). Isinulat ang unang hilera sa ibaba: a0 a2 a4 a6…………

Ang pangalawang hilera ay lalagyan ng lahat ng odd terms ng ekwasyong karakteristiko. Ayusin sila mula sa unang (odd term) hanggang sa huling (odd term). Isinulat ang unang hilera sa ibaba: a1 a3 a5 a7………..

Ang mga elemento ng ikatlong hilera ay maaaring makalkula bilang:

Unang elemento : I-multiply ang a0 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a3) pagkatapos i-subtract ito mula sa product ng a1 at a2 (kung saan ang a2 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay hahatiin ang resulta sa a1. Matematikal na isinusulat natin ang unang elemento

Pangalawang elemento : I-multiply ang a0 sa diagonally opposite element ng susunod na susunod na column (i.e. a5) pagkatapos i-subtract ito mula sa product ng a1 at a4 (kung saan, a4 ay diagonally opposite element ng susunod na susunod na column) at pagkatapos ay hahatiin ang resulta sa a1. Matematikal na isinusulat natin ang pangalawang elemento

Parehong paraan, maaari nating makalkula ang lahat ng mga elemento ng ikatlong hilera.

(d) Ang mga elemento ng ikaapat na hilera ay maaaring makalkula gamit ang sumusunod na paraan:

Unang elemento : I-multiply ang b1 sa diagonally opposite element ng susunod na column (i.e. a3) pagkatapos i-subtract ito mula sa product ng a1 at b2 (kung saan, b2 ay diagonally opposite element ng susunod na column) at pagkatapos ay hahatiin ang resulta sa b1. Matematikal na isinusulat natin ang unang elemento

 (2) Pangalawang elemento : I-multiply ang b1 sa diagonally opposite element ng susunod na susunod na column (i.e. a5) pagkatapos i-subtract ito mula sa product ng a1 at b3 (kung saan, b3 ay diagonally opposite element ng susunod na susunod na column) at pagkatapos ay hahatiin ang resulta sa a1. Matematikal na isinusulat natin ang pangalawang elemento

Parehong paraan, maaari nating makalkula ang lahat ng mga elemento ng ikaapat na hilera.

Parehong paraan, maaari nating makalkula ang lahat ng mga elemento ng lahat ng mga hilera.

Kriterya ng estabilidad kung ang lahat ng mga elemento ng unang column ay positibo, ang sistema ay magiging stable. Gayunpaman, kung anumang elemento nito ay negatibo, ang sistema ay hindi stable.

Ngayon, mayroon tayong ilang espesyal na kaso na may kaugnayan sa Kriterya ng Estabilidad ni Routh na ipinapaliwanag sa ibaba:

Kaso uno: Kung ang unang termino sa anumang hilera ng array ay zero habang ang natitirang bahagi ng hilera ay may kahit isang non-zero term. Sa kasong ito, aasahan natin ang napakaliit na halaga (ε) na lumalapit sa zero sa lugar ng zero. Sa pamamagitan ng pagpapalit ng zero sa (ε), kukalkulahin natin ang lahat ng mga elemento ng routh array. 

Pagkatapos makalkula ang lahat ng mga elemento, ilalapat natin ang limit sa bawat elemento na naglalaman ng (ε). Sa paglutas ng limit sa bawat elemento, kung makukuha natin ang positibong halaga ng limit, sasabihin natin na ang sistema ay stable. Sa lahat ng ibang kondisyon, sasabihin natin na ang sistema ay hindi stable.

Kaso pampangalawa : Kapag ang lahat ng mga elemento ng anumang hilera ng routh array ay zero. Sa kasong ito, maaari nating sabihin na ang sistema ay may sintomas ng marginal na estabilidad. Unawain muna natin ang pisikal na kahulugan ng pagkakaroon ng lahat ng mga elemento na zero sa anumang hilera. 

Ang pisikal na kahulugan ay may simetriyang nakalok na mga ugat ng ekwasyong karakteristiko sa s plane. Ngayon, upang malaman ang estabilidad sa kasong ito, unang huhulamin natin ang auxiliary equation. Maaaring gumawa ng auxiliary equation gamit ang mga elemento ng hilera na nasa itaas ng hilera ng zeros sa routh array. Pagkatapos makuhang auxiliary equation, ididifferentiate natin ito upang makuhang mga elemento ng zero row. 

Kung walang pagbabago ng sign sa bagong routh array na nabuo gamit ang auxiliary equation, sasabihin natin na ang sistema ay limitado na stable. Sa lahat ng ibang kaso, sasabihin natin na ang sistema ay unstable.