Criterium Stabilitatis Routh Hurwitz
Criterium Stabilitatis Routh Hurwitz Definitio
Est methodus ad stabilitatem systematis per aequationem characteristicam determinandam.
Criterium Hurwitz
Per aequationem characteristicam, possumus plures determinantes Hurwitz creare ad stabilitatem systematis determinandam. Aequatio characteristicum systematis sic definitur:
Sunt n determinantes pro aequatione characteristicis ordinis nth.
Hic est modus scribendi determinantes ex coefficientibus aequationis characteristicis. Sequere hos passus pro aequatione characteristicis ordinis kth:
Determinans unus : Valorem huius determinantis dat |a1| ubi a1 est coefficient sn-1 in aequatione characteristicis.
Determinans duo : Valorem huius determinantis dat
Hic numerus elementorum in singulis lineis est aequalis numero determinantis et habemus numerum determinantis hic duo. Prima linea constat duobus primis coefficientibus imparibus et secunda linea constat duobus primis coefficientibus paribus.
Determinans tres : Valorem huius determinantis dat
Hic numerus elementorum in singulis lineis est aequalis numero determinantis et habemus numerum determinantis hic tres. Prima linea constat tribus primis coefficientibus imparibus, secunda linea constat tribus primis coefficientibus paribus et tertia linea constat primo elemento ut zero et ceteris duobus elementis ut primis duobus coefficientibus imparibus.
Determinans quattuor: Valorem huius determinantis dat,
Hic numerus elementorum in singulis lineis est aequalis numero determinantis et habemus numerum determinantis hic quattuor. Prima linea constat quattuor primis coefficientibus, secunda linea constat quattuor primis coefficientibus paribus, tertia linea constat primo elemento ut zero et ceteris tribus elementis ut primis tribus coefficientibus imparibus, quarta linea constat primo elemento ut zero et ceteris tribus elementis ut primis tribus coefficientibus paribus.
Sequendo eundem procedere, possumus formationem determinantis generalizare. Forma generalis determinantis subter data est:
Ad stabilitatem systematis probandam, calcula valorem cuiusque determinantis. Systema stabilis est si quisque determinantis positivus est. Si quis determinantis non positivus est, systema instabile est.
Criterium Stabilitatis Routh
Hoc criterium etiam cognitum est ut Criterium Hurwitz modificatum de stabilitate systematis. Hoc criterium studiemus in duobus partibus. Pars prima tractabit de conditione necessaria ad stabilitatem systematis et pars secunda tractabit de conditione sufficienti ad stabilitatem systematis. Rursus consideremus aequationem characteristicis systematis ut
1) Pars prima (conditio necessaria ad stabilitatem systematis): In hac duae sunt conditiones quae subter scriptae sunt:
Omnes coefficientes aequationis characteristicis debent esse positivi et reales.
Omnes coefficientes aequationis characteristicis debent esse non nulli.
2) Pars secunda (conditio sufficiens ad stabilitatem systematis): Primum tabulam Routh construamus. Ad tabulam Routh construendam sequere hos passus:
Prima linea constabit omnibus terminis paribus aequationis characteristicis. Disponantur ab initio (termino pari) ad finem (termino pari). Prima linea scribitur subter: a0 a2 a4 a6…………
Secunda linea constabit omnibus terminis imparibus aequationis characteristicis. Disponantur ab initio (termino impari) ad finem (termino impari). Secunda linea scribitur subter: a1 a3 a5 a7………..
Elementa tertiae lineae possunt calculari ut:
Primum elementum : Multiplica a0 cum elemento diagonaliter opposito columna proxima (id est a3) tunc subtrahe hoc a productu a1 et a2 (ubi a2 est elementum diagonaliter oppositum columna proxima) et tunc demum divide resultatum sic obtinatum per a1. Mathematica scribimus ut primum elementum
Secundum elementum : Multiplica a0 cum elemento diagonaliter opposito columna proxima proxima (id est a5) tunc subtrahe hoc a productu a1 et a4 (ubi a4 est elementum diagonaliter oppositum columna proxima proxima) et tunc demum divide resultatum sic obtinatum per a1. Mathematica scribimus ut secundum elementum
Similiter, possumus calculare omnia elementa tertiae lineae.
(d) Elementa quartae lineae possunt calculari per sequentem proceduram:
Primum elementum : Multiplica b1 cum elemento diagonaliter opposito columna proxima (id est a3) tunc subtrahe hoc a productu a1 et b2 (ubi b2 est elementum diagonaliter oppositum columna proxima) et tunc demum divide resultatum sic obtinatum per b1. Mathematica scribimus ut primum elementum
(2) Secundum elementum : Multiplica b1 cum elemento diagonaliter opposito columna proxima proxima (id est a5) tunc subtrahe hoc a productu a1 et b3 (ubi b3 est elementum diagonaliter oppositum columna proxima proxima) et tunc demum divide resultatum sic obtinatum per a1. Mathematica scribimus ut secundum elementum
Similiter, possumus calculare omnia elementa quartae lineae.
Similiter, possumus calculare omnia elementa omnium linearum.
Criterium stabilitatis si omnia elementa primae columnae sunt positiva, tunc systema stabile erit. Si autem unum eorum negativum est, systema instabile erit.
Nunc sunt quaedam casus speciales qui ad Criterium Stabilitatis Routh pertinent et quos subter tractabimus:
Casus unus: Si primus terminus in qualibet linea tabulae est zero, dum reliqua linea habet saltem unum terminum non nullum.In hoc casu assumemus valorem parvum (ε) qui tendit ad zero loco zero. Per substitutionem zero cum (ε) calculabimus omnia elementa tabulae Routh.
Postquam calculavimus omnia elementa, applicabimus limitem ad singulum elementum continens (ε). Solvens limes ad singulum elementum, si obtineamus valorem limitis positivum, dicemus systema datum stabile esse, aliter in omnibus aliis conditionibus dicemus systema datum instabile esse.
Casus secundus : Quando omnia elementa in qualibet linea tabulae Routh sunt zero. In hoc casu possumus dicere systema signa stabilitatis marginalis habere. Primum intelligamus sensum physicum habendi omnia elementa nulli in qua linea.
Sensus physicus est quod sint radices symmetrica sitae aequationis characteristicis in plano s.Nunc ad stabilitatem inveniendam in hoc casu, primum aequationem auxiliarem inveniemus. Aequatio auxiliaris formari potest per elementa lineae immediate supra lineam nullorum in tabula Routh. Postquam invenimus aequationem auxiliarem, eius differentiam capiemus ut elementa lineae nullorum obtineamus.
Si nulla mutatio signi in nova tabula Routh formata per aequationem auxiliarem est, tunc dicemus systema datum stabile esse. In omnibus aliis casibus dicemus systema datum instabile esse.
