ルース・フルヴィッツ安定判別法

ルース・フルウィッツの安定性基準の定義

これは特性方程式を使用してシステムの安定性を決定する方法です。

フルウィッツの基準

特性方程式を使用して、いくつかのフルウィッツ行列式を作成し、システムの安定性を決定することができます。システムの特性方程式は以下の通り定義されます：

n次の特性方程式にはn個の行列式があります。

特性方程式の係数から行列式を書く方法は以下の通りです。k次の特性方程式についてこれらの手順に従います：

行列式1：この行列式の値は|a1|で与えられます。ここでa1は特性方程式におけるsn-1の係数です。

行列式2：この行列式の値は以下の通りです：

各列の要素数は行列式番号と等しく、ここでは行列式番号が2です。最初の行は最初の2つの奇数項で構成され、2番目の行は最初の2つの偶数項で構成されています。

行列式3：この行列式の値は以下の通りです：

各列の要素数は行列式番号と等しく、ここでは行列式番号が3です。最初の行は最初の3つの奇数項で構成され、2番目の行は最初の3つの偶数項で構成され、3番目の行は最初の要素が0で、残りの2つの要素が最初の2つの奇数項です。

行列式4：この行列式の値は以下の通りです：

各列の要素数は行列式番号と等しく、ここでは行列式番号が4です。最初の行は最初の4つの係数で構成され、2番目の行は最初の4つの偶数項で構成され、3番目の行は最初の要素が0で、残りの3つの要素が最初の3つの奇数項で、4番目の行は最初の要素が0で、残りの3つの要素が最初の3つの偶数項です。

同じ手順に従って行列式の形成を一般化することができます。行列式の一般的な形式は以下の通りです：

システムの安定性を確認するには、各行列式の値を計算します。すべての行列式が正であれば、システムは安定しています。いずれかの行列式が正でない場合、システムは不安定です。

ルースの安定性基準

この基準はまた、システムの安定性のための修正されたフルウィッツ基準とも呼ばれます。この基準は2つの部分で研究します。第1部ではシステムの安定性のための必要条件を、第2部ではシステムの安定性のための十分条件をカバーします。再びシステムの特性方程式を以下のように考えます：

1)     第1部（システムの安定性のための必要条件）：ここでは以下の2つの条件があります：

• 特性方程式のすべての係数は正かつ実数であるべきです。

• 特性方程式のすべての係数は非ゼロであるべきです。

2)     第2部（システムの安定性のための十分条件）：まずルース配列を作成しましょう。ルース配列を作成するには以下の手順に従います：

最初の行には特性方程式のすべての偶数項が含まれます。最初の（偶数項）から最後の（偶数項）まで並べます。最初の行は以下の通りです：a0 a2 a4 a6…...

2番目の行には特性方程式のすべての奇数項が含まれます。最初の（奇数項）から最後の（奇数項）まで並べます。2番目の行は以下の通りです：a1 a3 a5 a7…...

3番目の行の要素は以下の手順で計算できます：

最初の要素：a0を次の列の対角線上の要素（すなわちa3）と乗算し、その結果をa1とa2（a2は次の列の対角線上の要素）の積から減じ、最終的に得られた結果をa1で割ります。数学的には最初の要素は以下の通りです：

2番目の要素：a0を次の次の列の対角線上の要素（すなわちa5）と乗算し、その結果をa1とa4（a4は次の次の列の対角線上の要素）の積から減じ、最終的に得られた結果をa1で割ります。数学的には2番目の要素は以下の通りです：

同様に、3番目の行のすべての要素を計算できます。

(d) 4番目の行の要素は以下の手順で計算できます：

最初の要素 :b1を次の列の対角線上の要素（すなわちa3）と乗算し、その結果をa1とb2（b2は次の列の対角線上の要素）の積から減じ、最終的に得られた結果をb1で割ります。数学的には最初の要素は以下の通りです：

 (2) 2番目の要素 : b1を次の次の列の対角線上の要素（すなわちa5）と乗算し、その結果をa1とb3（b3は次の次の列の対角線上の要素）の積から減じ、最終的に得られた結果をa1で割ります。数学的には2番目の要素は以下の通りです：

同様に、4番目の行のすべての要素を計算できます。

同様に、すべての行のすべての要素を計算できます。

安定性基準は、最初の列のすべての要素が正であれば、システムは安定しています。しかし、いずれかの要素が負であれば、システムは不安定です。

次に、ルース安定性基準に関連するいくつかの特殊なケースについて説明します：

ケース1：配列の任意の行の最初の項がゼロであり、他の行には少なくとも1つの非ゼロ項がある場合。この場合、非常に小さな値（ε）をゼロの代わりに仮定します。ゼロを（ε）で置き換えて、ルース配列のすべての要素を計算します。

すべての要素を計算した後、各要素に対して極限を適用します。（ε）を含む各要素に対して極限を解いて、正の極限値を得られれば、システムは安定していると言えます。それ以外の場合、システムは不安定です。

ケース2 ： ルース配列の任意の行のすべての要素がゼロの場合。この場合、システムは境界安定性の兆候があります。まず、任意の行のすべての要素がゼロである物理的意味を理解しましょう。

物理的な意味は、s平面上の特性方程式の根が対称的に配置されていることです。この場合の安定性を判断するために、まず補助方程式を見つけます。補助方程式は、ルース配列のゼロ行の直上の行の要素を使用して作成します。補助方程式を見つけたら、それを微分してゼロ行の要素を得ます。

補助方程式を使用して作成した新しいルース配列に符号変化がない場合、システムは境界安定であると言えます。それ以外の場合、システムは不安定です。