Routh Hurwitz Stabiilisuuskriteeri

Routh Hurwitz Stabilitetin Kriteerin Määritelmä

Se on menetelmä järjestelmän stabiilisuuden määrittämiseksi karakteristisen yhtälön avulla.

Hurwitzin Kriteeri

Karakteristisen yhtälön avulla voimme luoda useita Hurwitzin determinantteja järjestelmän stabiilisuuden määrittämiseksi. Järjestelmän karakteristinen yhtälö on seuraavanlainen:

Neljäsasteiselle karakteristiselle yhtälölle on n determinanttia.

Tässä on ohjeet determinanttien kirjoittamiseksi karakteristisen yhtälön kertoimista. Noudattakaa näitä vaiheita k:nnen asteen karakteristiselle yhtälölle:

Determinantti yksi : Tämän determinantin arvo on |a1|, missä a1 on sn-1:n kerroin karakteristisessa yhtälössä.

Determinantti kaksi : Tämän determinantin arvo on

Tässä kullakin rivillä on saman verran elementtejä kuin determinantilla, ja tässä determinantilla on kaksi. Ensimmäinen rivi koostuu ensimmäisestä kahdesta parittomasta kertoimesta, ja toinen rivi koostuu ensimmäisestä kahdesta parillisesta kertoimesta.

Determinantti kolme : Tämän determinantin arvo on

Tässä kullakin rivillä on saman verran elementtejä kuin determinantilla, ja tässä determinantilla on kolme. Ensimmäinen rivi koostuu ensimmäisestä kolmesta parittomasta kertoimesta, toinen rivi koostuu ensimmäisestä kolmesta parillisesta kertoimesta, ja kolmas rivi koostuu ensimmäisestä elementistä nollana ja muista kahdesta elementistä ensimmäisistä kahdesta parittomasta kertoimesta.

Determinantti neljä: Tämän determinantin arvo on,

Tässä kullakin rivillä on saman verran elementtejä kuin determinantilla, ja tässä determinantilla on neljä. Ensimmäinen rivi koostuu ensimmäisestä neljästä kertoimesta, toinen rivi koostuu ensimmäisestä neljästä parillisesta kertoimesta, kolmas rivi koostuu ensimmäisestä elementistä nollana ja muista kolmesta elementistä ensimmäisistä kolmesta parittomasta kertoimesta, ja neljäs rivi koostuu ensimmäisestä elementistä nollana ja muista kolmesta elementistä ensimmäisistä kolmesta parillisesta kertoimesta.

Samalla menettelyllä voimme yleistää determinanttien muodostuksen. Determinantin yleinen muoto on seuraava:

Järjestelmän stabiilisuuden tarkastamiseksi lasketaan jokaisen determinantin arvo. Järjestelmä on vakaa, jos jokainen determinantti on positiivinen. Jos mikään determinantti ei ole positiivinen, järjestelmä ei ole vakaa.

Routhin Stabilitetin Kriteeri

Tämä kriteeri tunnetaan myös muutetun Hurwitzin Kriteerinä järjestelmän stabiilisuuden määrittämiseksi. Tutkimme tätä kriteeriä kahteen osaan. Osa yksi kattaa välttämättömät ehdot järjestelmän stabiilisuudelle, ja osa kaksi kattaa riittävät ehdot järjestelmän stabiilisuudelle. Harkitsemaan taas järjestelmän karakteristista yhtälöä

1)     Osa yksi (välttämättömät ehdot järjestelmän stabiilisuudelle): Tässä meillä on kaksi ehtoa, jotka ovat seuraavat:

• Kaikki karakteristisen yhtälön kertoimet pitäisi olla positiivisia ja reaalisia.

• Kaikki karakteristisen yhtälön kertoimet pitäisi olla nollasta poikkeavia.

2)     Osa kaksi (riittävät ehdot järjestelmän stabiilisuudelle): Rakennetaan ensin Routhin taulukko. Routhin taulukon rakentamiseksi noudattakaa seuraavia vaiheita:

Ensimmäinen rivi koostuu kaikista karakteristisen yhtälön parillisista termeistä. Järjestä ne ensimmäisestä (parillisesta termistä) viimeiseen (parillisesti termi). Ensimmäinen rivi on kirjoitettu alla: a0 a2 a4 a6…………

Toinen rivi koostuu kaikista karakteristisen yhtälön parittomista termeistä. Järjestä ne ensimmäisestä (parittomasta termistä) viimeiseen (parittomasti termi). Toinen rivi on kirjoitettu alla: a1 a3 a5 a7………..

Kolmannen rivin elementit voidaan laskea seuraavasti:

Ensimmäinen elementti : Kerrotaan a0 diagonaalisesti vastakkain olevan elementin (eli a3) kanssa, vähennetään tämä a1:n ja a2:n tulosta (missä a2 on diagonaalisesti vastakkain oleva elementti seuraavassa sarakkeessa), ja lopuksi jaetaan saatu tulos a1:llä. Matemaattisesti kirjoitamme ensimmäisen elementin

Toinen elementti : Kerrotaan a0 diagonaalisesti vastakkain olevan elementin (eli a5) kanssa, vähennetään tämä a1:n ja a4:n tulosta (missä a4 on diagonaalisesti vastakkain oleva elementti seuraavassa sarakkeessa), ja lopuksi jaetaan saatu tulos a1:llä. Matemaattisesti kirjoitamme toisen elementin

Samalla tavalla voimme laskea kaikki kolmannen rivin elementit.

(d) Neljännen rivin elementit voidaan laskea seuraavalla menettelyllä:

Ensimmäinen elementti : Kerrotaan b1 diagonaalisesti vastakkain olevan elementin (eli a3) kanssa, vähennetään tämä a1:n ja b2:n tulosta (missä b2 on diagonaalisesti vastakkain oleva elementti seuraavassa sarakkeessa), ja lopuksi jaetaan saatu tulos b1:llä. Matemaattisesti kirjoitamme ensimmäisen elementin

 (2) Toinen elementti : Kerrotaan b1 diagonaalisesti vastakkain olevan elementin (eli a5) kanssa, vähennetään tämä a1:n ja b3:n tulosta (missä b3 on diagonaalisesti vastakkain oleva elementti seuraavassa sarakkeessa), ja lopuksi jaetaan saatu tulos a1:llä. Matemaattisesti kirjoitamme toisen elementin

Samalla tavalla voimme laskea kaikki neljännen rivin elementit.

Samalla tavalla voimme laskea kaikkien rivien elementit.

Stabiilisuuskriteeri, jos kaikki ensimmäisen sarakkeen elementit ovat positiivisia, järjestelmä on vakaa. Jos kuitenkin jokin niistä on negatiivinen, järjestelmä ei ole vakaa.

Nyt on joitakin erityisiä tapauksia, jotka liittyvät Routhin stabiilisuuskriteeriin, ja ne on käsitelty alla:

Tapaus yksi: Jos jonkin rivin ensimmäinen termi on nolla, kun taas muut rivin termit ovat ainakin yksi nollasta eroava termi. Tässä tapauksessa asetamme hyvin pienellä arvolla (ε), joka lähestyy nollaa, nollan sijasta. Korvaamalla nollan (ε):llä laskemme kaikki Routhin taulukon elementit. 

Laskemisen jälkeen sovellamme raja-arvon jokaiseen (ε):n sisältävään elementtiin. Ratkaistessamme raja-arvon jokaisessa elementissä, jos saamme positiivisen raja-arvon, sanomme, että annettu järjestelmä on vakaa, muussa tapauksessa sanomme, että annettu järjestelmä ei ole vakaa.

Tapaus toinen : Kun kaikki Routhin taulukon rivin elementit ovat nollia. Tässä tapauksessa voimme sanoa, että järjestelmällä on marginaalisen stabiilisuuden oireita. Ymmärtäkäämme ensin fyysinen merkitys, kun kaikki rivin elementit ovat nollia. 

Fyysinen merkitys on, että karakteristisen yhtälön juuret s-tasossa sijaitsevat symmetrisesti.Nyt löytääksemme stabiilisuuden tässä tapauksessa, muodostamme ensin apuyhtälön. Apuyhtälö voidaan muodostaa käyttämällä nollarivin yläpuolella olevan rivin elementtejä Routhin taulukossa. Apuyhtälön jälkeen derivoidaan apuyhtälö hankkiaksemme nollarivin elementit. 

Jos uudessa Routhin taulukossa, joka on muodostettu apuyhtälön avulla, ei ole merkkimuutosta, sanomme, että annettu järjestelmä on rajallisesti vakaa. Muussa tapauksessa sanomme, että annettu järjestelmä ei ole vakaa.