Routh Hurwitz Korzinkilik Kriteriyi
Routh-Hurwitz qoniylik kriteriyasi ta'rifi
Bu tizimning xarakteristik tenglamasidan foydalanib uning qoniylikini aniqlash usuli.
Hurwitz kriteriyi
Xarakteristik tenglama yordamida biz bir nechta Hurwitz determinantlarini yaratish orqali tizimning qoniylikini aniqlaymiz. Tizimning xarakteristik tenglamasi quyidagicha aniqlanadi:
n-darajali xarakteristik tenglama uchun n ta determinant mavjud.
Xarakteristik tenglamaning koeffitsiyentlaridan determinantlarni quyidagicha yozish mumkin. k-darajali xarakteristik tenglama uchun quyidagi qadamlarni bajarish kerak:
Birinchi determinant: Bu determinant qiymati |a1| bo'lib, bu yerda a1 xarakteristik tenglamada sn-1 koeffitsiyenti.
Ikkinchi determinant: Bu determinant qiymati quyidagicha beriladi:
Har bir qatorning elementlari soni determinant raqami bilan teng va bu yerda determinant raqami ikki. Birinchi qator birinchi ikkita toq koeffitsiyentlardan, ikkinchi qator esa birinchi ikkita juft koeffitsiyentlardan iborat.
Uchinchi determinant: Bu determinant qiymati quyidagicha beriladi:
Har bir qatorning elementlari soni determinant raqami bilan teng va bu yerda determinant raqami uch. Birinchi qator birinchi uch toq koeffitsiyentlardan, ikkinchi qator birinchi uch juft koeffitsiyentlardan, uchinchi qator esa birinchi element nol, qolgan ikki element esa birinchi ikki toq koeffitsiyentlardan iborat.
To'rtinchi determinant: Bu determinant qiymati quyidagicha beriladi:
Har bir qatorning elementlari soni determinant raqami bilan teng va bu yerda determinant raqami to'rt. Birinchi qator birinchi to'rt koeffitsiyentlardan, ikkinchi qator birinchi to'rt juft koeffitsiyentlardan, uchinchi qator esa birinchi element nol, qolgan uch element esa birinchi uch toq koeffitsiyentlardan, to'rtinchi qator esa birinchi element nol, qolgan uch element esa birinchi uch juft koeffitsiyentlardan iborat.
Shunday qilib, determinantlarni shakllantirish jarayonini umumlashtirish mumkin. Determinantning umumiy formasi quyidagicha beriladi:
Tizimning qoniylikini tekshirish uchun har bir determinantning qiymatini hisoblash kerak. Agar har bir determinant musbat bo'lsa, tizim qoniy bo'ladi. Agar hech qanday determinant musbat emas bo'lsa, tizim qoniy emas.
Routh qoniylik kriteriyi
Bu kriteriya tizimning qoniylikini aniqlovchi o'zgartirilgan Hurwitz kriteriyi ham deyiladi. Biz bu kriteriyani ikki qismda o'rganamiz. Birinchi qism tizimning qoniylik uchun zarur shartni, ikkinchi qism esa tizimning qoniylik uchun yetarli shartni o'z ichiga oladi. Qayta tizimning xarakteristik tenglamasini ko'rib chiqaylik:
1) Birinchi qism (tizimning qoniylik uchun zarur shart): Bu yerda biz ikkita shartga ega, ular quyidagilardir:
Xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsiyentlari musbat va haqiqiy bo'lishi kerak.
Xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsiyentlari nol emas bo'lishi kerak.
2) Ikkinchi qism (tizimning qoniylik uchun yetarli shart): Avval Routh jadvalini tuzish kerak. Routh jadvalini tuzish uchun quyidagi qadamlarni bajarish kerak:
Birinchi qator xarakteristik tenglamadan barcha juft hadlarni o'z ichiga oladi. Ularni birinchi (juft had) dan oxirgi (juft had) gacha tartiblaymiz. Birinchi qator quyidagicha yoziladi: a0 a2 a4 a6…………
Ikkinchi qator xarakteristik tenglamadan barcha toq hadlarni o'z ichiga oladi. Ularni birinchi (toq had) dan oxirgi (toq had) gacha tartiblaymiz. Ikkinchi qator quyidagicha yoziladi: a1 a3 a5 a7………..
Uchinchi qatorning elementlari quyidagicha hisoblanadi:
Birinchi element: a0 ni keyingi ustunda diagonally qarama-qarshi element (ya'ni a3) bilan ko'paytiramiz, natijani a1 va a2 (bu yerda a2 keyingi ustundagi diagonally qarama-qarshi element) ko'paytmasidan ayiramiz va so'ngra a1 ga bo'lib, hosil bo'lgan natijani olishimiz kerak. Matematik ravishda biz uni birinchi element deb yozamiz:
Ikkinchi element: a0 ni keyingi ustundan keyingi ustunda diagonally qarama-qarshi element (ya'ni a5) bilan ko'paytiramiz, natijani a1 va a4 (bu yerda a4 keyingi ustundan keyingi ustundagi diagonally qarama-qarshi element) ko'paytmasidan ayiramiz va so'ngra a1 ga bo'lib, hosil bo'lgan natijani olishimiz kerak. Matematik ravishda biz uni ikkinchi element deb yozamiz:
Shunday qilib, uchinchi qatorning barcha elementlarini hisoblash mumkin.
(d) To'rtinchi qatorning elementlari quyidagi jarayon yordamida hisoblanadi:
Birinchi element : b1 ni keyingi ustunda diagonally qarama-qarshi element (ya'ni a3) bilan ko'paytiramiz, natijani a1 va b2 (bu yerda b2 keyingi ustundagi diagonally qarama-qarshi element) ko'paytmasidan ayiramiz va so'ngra b1 ga bo'lib, hosil bo'lgan natijani olishimiz kerak. Matematik ravishda biz uni birinchi element deb yozamiz:
(2) Ikkinchi element : b1 ni keyingi ustundan keyingi ustunda diagonally qarama-qarshi element (ya'ni a5) bilan ko'paytiramiz, natijani a1 va b3 (bu yerda b3 keyingi ustundan keyingi ustundagi diagonally qarama-qarshi element) ko'paytmasidan ayiramiz va so'ngra a1 ga bo'lib, hosil bo'lgan natijani olishimiz kerak. Matematik ravishda biz uni ikkinchi element deb yozamiz:
Shunday qilib, to'rtinchi qatorning barcha elementlarini hisoblash mumkin.
Shunday qilib, barcha qatorlarning barcha elementlarini hisoblash mumkin.
Qoniylik kriteriyi: agar birinchi ustundagi barcha elementlar musbat bo'lsa, tizim qoniy bo'ladi. Agar ularning hech qaysi biri manfiy bo'lsa, tizim qoniy emas.
Endi Routh qoniylik kriteriyiga oid ba'zi maxsus holatlarni keltiramiz:
Holat bir: Agar jadvalning istalgan qatorining birinchi hadi nol bo'lib, qatorning qolgan qismida kamida bitta noldan farqli had mavjud bo'lsa. Bu holatda biz nol o'rniga juda kichik qiymat (ε) o'rniga o'rnatasiz, bu qiymat noldan juda yaqin bo'lib ketadi. Nolni (ε) bilan almashtirib, Routh jadvalining barcha elementlarini hisoblaymiz.
Barcha elementlarni hisoblagandan so'ng, ularning har biriga chegarani qo'yamiz. Har bir elementni yechib, agar pozitiv chek qiymatni olsak, tizim qoniy deb hisoblanadi, aks holda, tizim qoniy emas deb hisoblanadi.
Holat ikki : Agar Routh jadvalining istalgan qatorining barcha elementlari nol bo'lsa. Bu holatda tizim marginal qoniylik belgilari bilan ega bo'lishi mumkin. Avval noldan iborat qatorning fizik ma'nosini tushunishimiz kerak.
Fizik ma'no shundaki, xarakteristik tenglamaning s-plane-da simmetrik joylashgan ildizlari mavjud. Endi bu holatda qoniylikni aniqlash uchun avval yordamchi tenglamani topishimiz kerak. Yordamchi tenglamani Routh jadvalida noldan iborat qatorning ustidagi qatorning elementlari yordamida tuzish mumkin. Yordamchi tenglamani hosil qilib, noldan iborat qatorning elementlarini olishimiz mumkin.
Agar yordamchi tenglama orqali hosil bo'lgan yangi Routh jadvalida ishoralar o'zgarmasa, tizim cheklangan qoniy deb hisoblanadi. Boshqa hollarda tizim qoniy emas deb hisoblanadi.
