Criterio de Estabilidad de Routh Hurwitz

Criterio de Estabilidad de Routh Hurwitz Definición

Es un método para determinar la estabilidad de un sistema utilizando la ecuación característica.

Criterio de Hurwitz

Utilizando la ecuación característica, podemos crear varios determinantes de Hurwitz para determinar la estabilidad del sistema. La ecuación característica del sistema se define de la siguiente manera:

Hay n determinantes para una ecuación característica de orden n.

A continuación, se muestra cómo escribir los determinantes a partir de los coeficientes de la ecuación característica. Siga estos pasos para una ecuación característica de orden k:

Determinante uno : El valor de este determinante está dado por |a1| donde a1 es el coeficiente de sn-1 en la ecuación característica.

Determinante dos : El valor de este determinante está dado por

Aquí, el número de elementos en cada fila es igual al número de determinante y tenemos que el número de determinante aquí es dos. La primera fila consta de los primeros dos coeficientes impares y la segunda fila consta de los primeros dos coeficientes pares.

Determinante tres : El valor de este determinante está dado por

Aquí, el número de elementos en cada fila es igual al número de determinante y tenemos que el número de determinante aquí es tres. La primera fila consta de los primeros tres coeficientes impares, la segunda fila consta de los primeros tres coeficientes pares y la tercera fila consta del primer elemento como cero y los otros dos elementos como los primeros dos coeficientes impares.

Determinante cuatro: El valor de este determinante está dado por,

Aquí, el número de elementos en cada fila es igual al número de determinante y tenemos que el número de determinante aquí es cuatro. La primera fila consta de los primeros cuatro coeficientes, la segunda fila consta de los primeros cuatro coeficientes pares, la tercera fila consta del primer elemento como cero y los otros tres elementos como los primeros tres coeficientes impares, y la cuarta fila consta del primer elemento como cero y los otros tres elementos como los primeros tres coeficientes pares.

Siguiendo el mismo procedimiento, podemos generalizar la formación del determinante. La forma general del determinante se muestra a continuación:

Para verificar la estabilidad del sistema, calcule el valor de cada determinante. El sistema es estable si cada determinante es positivo. Si algún determinante no es positivo, el sistema no es estable.

Criterio de Estabilidad de Routh

Este criterio también se conoce como Criterio de Hurwitz Modificado para la estabilidad del sistema. Estudiaremos este criterio en dos partes. La primera parte cubrirá la condición necesaria para la estabilidad del sistema y la segunda parte cubrirá la condición suficiente para la estabilidad del sistema. Consideremos nuevamente la ecuación característica del sistema como

1)     Primera parte (condición necesaria para la estabilidad del sistema): En esto tenemos dos condiciones que se escriben a continuación:

• Todos los coeficientes de la ecuación característica deben ser positivos y reales.

• Todos los coeficientes de la ecuación característica deben ser no nulos.

2)     Segunda parte (condición suficiente para la estabilidad del sistema): Construyamos primero la matriz de Routh. Para construir la matriz de Routh, siga estos pasos:

La primera fila constará de todos los términos pares de la ecuación característica. Ordenarlos desde el primero (término par) hasta el último (término par). La primera fila se escribe a continuación: a0 a2 a4 a6…

La segunda fila constará de todos los términos impares de la ecuación característica. Ordenarlos desde el primero (término impar) hasta el último (término impar). La segunda fila se escribe a continuación: a1 a3 a5 a7…

Los elementos de la tercera fila se pueden calcular de la siguiente manera:

Primer elemento : Multiplica a0 con el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente (es decir, a3), luego resta esto del producto de a1 y a2 (donde a2 es el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente) y finalmente divide el resultado obtenido con a1. Matemáticamente, escribimos el primer elemento

Segundo elemento : Multiplica a0 con el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente (es decir, a5), luego resta esto del producto de a1 y a4 (donde a4 es el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente) y finalmente divide el resultado obtenido con a1. Matemáticamente, escribimos el segundo elemento

De manera similar, podemos calcular todos los elementos de la tercera fila.

(d) Los elementos de la cuarta fila se pueden calcular utilizando el siguiente procedimiento:

Primer elemento : Multiplica b1 con el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente (es decir, a3), luego resta esto del producto de a1 y b2 (donde b2 es el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente) y finalmente divide el resultado obtenido con b1. Matemáticamente, escribimos el primer elemento

 (2) Segundo elemento : Multiplica b1 con el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente (es decir, a5), luego resta esto del producto de a1 y b3 (donde b3 es el elemento diagonalmente opuesto de la columna siguiente) y finalmente divide el resultado obtenido con a1. Matemáticamente, escribimos el segundo elemento

De manera similar, podemos calcular todos los elementos de la cuarta fila.

De manera similar, podemos calcular todos los elementos de todas las filas.

Criterios de estabilidad: si todos los elementos de la primera columna son positivos, entonces el sistema será estable. Sin embargo, si alguno de ellos es negativo, el sistema será inestable.

Ahora, hay algunos casos especiales relacionados con los Criterios de Estabilidad de Routh, que se discuten a continuación:

Caso uno: Si el primer término en cualquier fila de la matriz es cero, mientras que el resto de la fila tiene al menos un término no nulo. En este caso, asumiremos un valor muy pequeño (ε) que tiende a cero en lugar de cero. Al reemplazar cero con (ε), calcularemos todos los elementos de la matriz de Routh. 

Después de calcular todos los elementos, aplicaremos el límite en cada elemento que contiene (ε). Al resolver el límite en cada elemento, si obtenemos un valor límite positivo, diremos que el sistema dado es estable; de lo contrario, en todas las demás condiciones, diremos que el sistema dado no es estable.

Caso segundo : Cuando todos los elementos de cualquier fila de la matriz de Routh son cero. En este caso, podemos decir que el sistema tiene síntomas de estabilidad marginal. Primero, comprendamos el significado físico de tener todos los elementos cero de cualquier fila. 

El significado físico es que hay raíces simétricamente ubicadas de la ecuación característica en el plano s. Ahora, para determinar la estabilidad en este caso, primero encontraremos la ecuación auxiliar. La ecuación auxiliar se puede formar utilizando los elementos de la fila justo encima de la fila de ceros en la matriz de Routh. Después de encontrar la ecuación auxiliar, la diferenciaremos para obtener los elementos de la fila de ceros. 

Si no hay cambio de signo en la nueva matriz de Routh formada utilizando la ecuación auxiliar, en este caso, diremos que el sistema dado es estable con limitaciones. En todos los demás casos, diremos que el sistema dado es inestable.