Routh Hurwitz Kararlılık Kriteri

Routh Hurwitz Kararlılık Kriteri Tanımı

Bu, karakteristik denklem kullanılarak bir sistemin kararlılığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir.

Hurwitz Kriteri

Karakteristik denklemi kullanarak, sistemin kararlılığını belirlemek için birkaç Hurwitz determinantı oluşturabiliriz. Sistemin karakteristik denklemi şu şekilde tanımlanır:

n. derece karakteristik denklem için n tane determinant vardır.

İşte karakteristik denklemin katsayılarından determinantların nasıl yazılacağı. k. derece karakteristik denklem için aşağıdaki adımları takip edin:

Birinci determinant : Bu determinantın değeri |a1| olarak verilir, burada a1 karakteristik denklemde sn-1'in katsayısıdır.

İkinci determinant : Bu determinantın değeri şu şekilde verilir:

Her satırdaki eleman sayısı, determinant numarasına eşittir ve burada determinant numaramız iki. İlk satır ilk iki tek katsayıyı, ikinci satır ise ilk iki çift katsayıyı içerir.

Üçüncü determinant : Bu determinantın değeri şu şekilde verilir:

Her satırdaki eleman sayısı, determinant numarasına eşittir ve burada determinant numaramız üç. İlk satır ilk üç tek katsayıyı, ikinci satır ilk üç çift katsayıyı, üçüncü satır ise ilk eleman sıfır ve diğer iki eleman ilk iki tek katsayıdır.

Dördüncü determinant: Bu determinantın değeri şu şekilde verilir:

Her satırdaki eleman sayısı, determinant numarasına eşittir ve burada determinant numaramız dört. İlk satır ilk dört katsayıyı, ikinci satır ilk dört çift katsayıyı, üçüncü satır ilk eleman sıfır ve diğer üç eleman ilk üç tek katsayı, dördüncü satır ilk eleman sıfır ve diğer üç eleman ilk üç çift katsayıdır.

Aynı prosedürü takip ederek determinant oluşumunu genelleştirebiliriz. Determinantın genel formu aşağıda verilmiştir:

Sistemin kararlılığını kontrol etmek için her determinantın değerini hesaplayın. Eğer her determinant pozitifse, sistem kararlıdır. Eğer herhangi bir determinant pozitif değilse, sistem kararlı değildir.

Routh Kararlılık Kriteri

Bu kriter aynı zamanda sistemin kararlılığı için değiştirilmiş Hurwitz Kriteri olarak da bilinir. Bu kriteri iki parçada inceleyeceğiz. Birinci bölüm, sistemin kararlılığı için gerekli koşulu, ikinci bölüm ise yeterli koşulu kapsayacaktır. Yeniden sistemin karakteristik denklemini şu şekilde düşünelim:

1)     Birinci bölüm (sistemin kararlılığı için gerekli koşul): Bu bölümde iki koşul bulunmaktadır ve bu koşullar aşağıda yazılmıştır:

• Karakteristik denklemin tüm katsayıları pozitif ve gerçek olmalıdır.

• Karakteristik denklemin tüm katsayıları sıfırdan farklı olmalıdır.

2)     İkinci bölüm (sistemin kararlılığı için yeterli koşul): Öncelikle Routh dizisini oluşturalım. Routh dizisini oluşturmak için aşağıdaki adımları takip edelim:

İlk satır, karakteristik denklemin tüm çift terimlerini içerecektir. İlk (çift terim) ile son (çift terim) arasında sıralayın. İlk satır şu şekilde yazılır: a0 a2 a4 a6…………

İkinci satır, karakteristik denklemin tüm tek terimlerini içerecektir. İlk (tek terim) ile son (tek terim) arasında sıralayın. İkinci satır şu şekilde yazılır: a1 a3 a5 a7………..

Üçüncü satırın elemanları şu şekilde hesaplanabilir:

İlk eleman : a0'ı bir sonraki sütundaki çapraz ters elemanla (yani a3) çarpın, ardından bu sonucu a1 ve a2'nin (a2 bir sonraki sütundaki çapraz ters elemandır) çarpımından çıkarın ve son olarak elde edilen sonucu a1 ile bölün. Matematiksel olarak ilk elemanı şöyle yazabiliriz:

İkinci eleman : a0'ı bir sonraki sütunun bir sonraki elemanıyla (yani a5) çarpın, ardından bu sonucu a1 ve a4'ün (a4 bir sonraki sütunun bir sonraki elemandır) çarpımından çıkarın ve son olarak elde edilen sonucu a1 ile bölün. Matematiksel olarak ikinci elemanı şöyle yazabiliriz:

Benzer şekilde, üçüncü satırın tüm elemanlarını hesaplayabiliriz.

(d) Dördüncü satırın elemanları aşağıdaki prosedür kullanılarak hesaplanabilir:

İlk eleman : b1'i bir sonraki sütundaki çapraz ters elemanla (yani a3) çarpın, ardından bu sonucu a1 ve b2'nin (b2 bir sonraki sütundaki çapraz ters elemandır) çarpımından çıkarın ve son olarak elde edilen sonucu b1 ile bölün. Matematiksel olarak ilk elemanı şöyle yazabiliriz:

 (2) İkinci eleman : b1'i bir sonraki sütunun bir sonraki elemanıyla (yani a5) çarpın, ardından bu sonucu a1 ve b3'ün (b3 bir sonraki sütunun bir sonraki elemandır) çarpımından çıkarın ve son olarak elde edilen sonucu a1 ile bölün. Matematiksel olarak ikinci elemanı şöyle yazabiliriz:

Benzer şekilde, dördüncü satırın tüm elemanlarını hesaplayabiliriz.

Benzer şekilde, tüm satırların tüm elemanlarını hesaplayabiliriz.

Kararlılık kriteri, eğer ilk sütundaki tüm elemanlar pozitifse, sistem kararlı olacaktır. Ancak eğer herhangi biri negatifse, sistem kararsız olacaktır.

Şimdi, Routh Kararlılık Kriteri ile ilgili bazı özel durumlar aşağıda tartışılmaktadır:

Birinci durum: Eğer dizinin herhangi bir satırındaki ilk terim sıfır olurken, satırın geri kalanında en az bir sıfırdan farklı terim varsa.Bu durumda, sıfır yerine çok küçük bir değer (ε) alacağız. Sıfır yerine (ε) koymakla birlikte, Routh dizisinin tüm elemanlarını hesaplayacağız. 

Tüm elemanları hesapladıktan sonra, her (ε) içeren elemanda limit uygulayacağız. Her elemanda limiti çözerek, eğer pozitif bir limit değeri elde edersek, verilen sistemin kararlı olduğunu söyleyeceğiz, aksi halde tüm diğer durumlarda sistemin kararlı olmadığını söyleyeceğiz.

İkinci durum : Eğer Routh dizisinin herhangi bir satırındaki tüm elemanlar sıfır ise. Bu durumda, sistemin sınır kararlılığının belirtilerini taşıdığını söyleyebiliriz. Öncelikle, herhangi bir satırın tüm elemanlarının sıfır olması durumunun fiziksel anlamını anlayalım. 

Fiziksel anlam, karakteristik denklemin s düzleminde simetrik olarak yerleştirilmiş köklerine sahip olduğu anlamına gelir.Bu durumda, kararlılığı belirlemek için öncelikle yardımcı denklemi bulacağız. Yardımcı denklem, Routh dizisinde sıfır satırının hemen üstündeki satırın elemanlarını kullanarak oluşturulabilir. Yardımcı denklemi bulduktan sonra, bu denklemi türeterek sıfır satırının elemanlarını elde ederiz. 

Eğer yardımcı denklem kullanılarak oluşturulan yeni Routh dizisinde işaret değişikliği yoksa, bu durumda verilen sistemin sınırlı kararlı olduğunu söyleriz. Diğer tüm durumlarda, verilen sistemin kararsız olduğunu söyleyeceğiz.