Критерій стабільності Рута-Гурвіца

Означення критерію стабільності Рауса-Гурвіца

Це метод визначення стабільності системи за допомогою характеристичного рівняння.

Критерій Гурвіца

Використовуючи характеристичне рівняння, ми можемо створити кілька детермінант Гурвіца для визначення стабільності системи. Характеристичне рівняння системи визначається наступним чином:

Для характеристичного рівняння n-го порядку існує n детермінант.

Ось як записати детермінанти з коефіцієнтів характеристичного рівняння. Виконайте ці кроки для характеристичного рівняння k-го порядку:

Перша детермінанта : Значення цієї детермінанти дорівнює |a1|, де a1 - це коефіцієнт sn-1 у характеристичному рівнянні.

Друга детермінанта : Значення цієї детермінанти дорівнює

Тут кількість елементів у кожному рядку дорівнює номеру детермінанти, і ми маємо номер детермінанти, який тут дорівнює двом. Перший рядок складається з перших двох непарних коефіцієнтів, а другий рядок - з перших двох парних коефіцієнтів.

Третя детермінанта : Значення цієї детермінанти дорівнює

Тут кількість елементів у кожному рядку дорівнює номеру детермінанти, і ми маємо номер детермінанти, який тут дорівнює трьом. Перший рядок складається з перших трьох непарних коефіцієнтів, другий рядок - з перших трьох парних коефіцієнтів, а третій рядок - з першим елементом, що дорівнює нулю, і рештою двох елементів, що дорівнюють першим двом непарним коефіцієнтам.

Четверта детермінанта: Значення цієї детермінанти дорівнює,

Тут кількість елементів у кожному рядку дорівнює номеру детермінанти, і ми маємо номер детермінанти, який тут дорівнює чотирьом. Перший рядок складається з перших чотирьох коефіцієнтів, другий рядок - з перших чотирьох парних коефіцієнтів, третій рядок - з першим елементом, що дорівнює нулю, і рештою трьох елементів, що дорівнюють першим трьом непарним коефіцієнтам, а четвертий рядок - з першим елементом, що дорівнює нулю, і рештою трьох елементів, що дорівнюють першим трьом парним коефіцієнтам.

Виконуючи таку ж процедуру, ми можемо узагальнити формування детермінант. Загальна форма детермінанти наведена нижче:

Для перевірки стабільності системи обчисліть значення кожної детермінанти. Система є стабільною, якщо кожна детермінанта додатна. Якщо будь-яка детермінанта не є додатною, система не є стабільною.

Критерій стабільності Рауса

Цей критерій також відомий як модифікований критерій Гурвіца стабільності системи. Ми будемо вивчати цей критерій у двох частинах. Перша частина охопить необхідну умову для стабільності системи, а друга частина - достатню умову для стабільності системи. Розглянемо знову характеристичне рівняння системи як

1)     Перша частина (необхідна умова для стабільності системи): Тут ми маємо дві умови, які наведено нижче:

• Усі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути додатними та реальними.

• Усі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути ненульовими.

2)     Друга частина (достатня умова для стабільності системи): Спочатку побудуємо таблицю Рауса. Для побудови таблиці Рауса виконайте наступні кроки:

Перший рядок буде складатися з усіх парних членів характеристичного рівняння. Розташуйте їх від першого (парний член) до останнього (парний член). Перший рядок наведено нижче: a0 a2 a4 a6…………

Другий рядок буде складатися з усіх непарних членів характеристичного рівняння. Розташуйте їх від першого (непарний член) до останнього (непарний член). Другий рядок наведено нижче: a1 a3 a5 a7………..

Елементи третього рядка можна обчислити таким чином:

Перший елемент : Помножте a0 на діагонально протилежний елемент наступного стовпця (тобто a3), потім відніміть це від добутку a1 і a2 (де a2 - це діагонально протилежний елемент наступного стовпця), і нарешті поділіть отриманий результат на a1. Математично ми пишемо як перший елемент

Другий елемент : Помножте a0 на діагонально протилежний елемент наступного наступного стовпця (тобто a5), потім відніміть це від добутку a1 і a4 (де a4 - це діагонально протилежний елемент наступного наступного стовпця), і нарешті поділіть отриманий результат на a1. Математично ми пишемо як другий елемент

Подібним чином, ми можемо обчислити всі елементи третього рядка.

(d) Елементи четвертого рядка можна обчислити, використовуючи наступну процедуру:

Перший елемент : Помножте b1 на діагонально протилежний елемент наступного стовпця (тобто a3), потім відніміть це від добутку a1 і b2 (де b2 - це діагонально протилежний елемент наступного стовпця), і нарешті поділіть отриманий результат на b1. Математично ми пишемо як перший елемент

 (2) Другий елемент : Помножте b1 на діагонально протилежний елемент наступного наступного стовпця (тобто a5), потім відніміть це від добутку a1 і b3 (де b3 - це діагонально протилежний елемент наступного наступного стовпця), і нарешті поділіть отриманий результат на a1. Математично ми пишемо як другий елемент

Подібним чином, ми можемо обчислити всі елементи четвертого рядка.

Подібним чином, ми можемо обчислити всі елементи усіх рядків.

Критерій стабільності, якщо всі елементи першого стовпця додатні, то система буде стабільною. Однак, якщо хоча б один з них від'ємний, система буде нестабільною.

Зараз є деякі особливі випадки, пов'язані з критерієм стабільності Рауса, які розглядаються нижче:

Випадок один: Якщо перший член будь-якого рядка таблиці дорівнює нулю, а решта рядка має принаймні один ненульовий член.У цьому випадку ми припустимо дуже мале значення (ε), яке прямує до нуля замість нуля. Замінивши нуль на (ε), ми обчислимо всі елементи таблиці Рауса. 

Після обчислення всіх елементів ми застосуємо границю до кожного елемента, що містить (ε). Розв'язавши границю для кожного елемента, якщо ми отримаємо додатне граничне значення, то ми скажемо, що дана система є стабільною, в інших випадках ми скажемо, що дана система не є стабільною.

Випадок два : Коли всі елементи будь-якого рядка таблиці Рауса дорівнюють нулю. У цьому випадку ми можемо сказати, що система має симптоми граничної стабільності. Спочатку розберімо фізичний зміст того, що всі елементи будь-якого рядка дорівнюють нулю. 

Фізичний зміст полягає в тому, що корені характеристичного рівняння симетрично розташовані в s-площині.Тепер, щоб визначити стабільність в цьому випадку, спочатку знайдемо допоміжне рівняння. Допоміжне рівняння можна сформувати, використовуючи елементи рядка, що знаходиться прямо над рядком нулів в таблиці Рауса. Після знаходження допоміжного рівняння ми продиференціюємо його, щоб отримати елементи рядка нулів. 

Якщо немає зміни знаку в новій таблиці Рауса, сформованій за допомогою допоміжного рівняння, то ми кажемо, що дана система є обмежено стабільною. У всіх інших випадках ми скажемо, що дана система нестабільна.